理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，集合
，则
( )
A． B． C． D．
2.欧拉公式为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大
到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数
学中的天桥”.根据欧拉公式，若将A．
B．
表示的复数记为，则
D．
的值为( )
C．
3.记不等式组的解集为，若,则实数的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4 4.已知
,则
的值等于( )
A． B． C. D．
5.函数的图像大致为( )
A． B． C.
·1·
D．
6.已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦
点，点在双曲线上，且,则( )
A．1 B．3 C.1或9 D．3或7 7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，且判断框内填入的条件是
,则的取值范围是( )
A． B． C. D．
8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山
区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )
A． B． C. D．
9.已知A．
B．
，则( ) C.
D．
10.锐角中，角所对的边为的面积,给出以下结论：
①②③④
；
；
；
有最小值8.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C. 3 D．4
·2·
11.已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截
面如图所示，已知三棱锥的体积为A．
B．
C.
，则球的表面积为( ) D．
12.设( ) A．
B．
C.
,其中，则的最小值为
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在
的展开式中，常数项为 ．（用数字填写答案）
14.已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为 ．
15.已知函数是 ． 16.点
是直线
在区间上恰有三个零点，则的取值范围
上的动点，是圆的两条切线，是切
点，则三角形面积的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列
，其中
，且满足
,.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
·3·
18. 如图，在平行四边形平面(1) 若
平面，求证：
.
中，°，四边形是矩形，，
；
(2) (2)若二面角的正弦值为，求的值.
19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现
金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：
中老年 青年 合计
(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望. 附:
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 支付宝用户 120 非支付宝用户 90 合计 300 ，其中.
20.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，
·4·
当时，内切圆的半径为.
(1)求椭圆的方程； (2)已知直线
与椭圆相较于
两点，且
，当直线
的斜率之和为2时，问：
点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
21. 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)求函数的极值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系
中，曲线
,曲线
为参数)，以坐标原点O为极点，
以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线
的极坐标方程；
(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求
的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数(1)求
的值；
的最小值为3.
(2)若
，求证：.
·5·
2018年湖北省高三4月调考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC
二、填空题
13. 112 14.
15.
16.
三、解答题
17.解：(1)
,
又
(2)由(1)知，
，所以 ①
是首项为4，公比为2的等比数列
又
又
联立①②得：
，所以,
为常数数列，) ②
所以
18.解：(1)连接
，在，则
又平面
平面
中，由
；同理由余弦定理易得：，所以
平面
，所以
，由余弦定理易得，由四边形，同理
是矩形，则，由勾股定理易求得
，又
，
·6·
，
由
(2)以点为原点，角坐标系，则
，所以
面
,显然
，所以
,故； ，所以
面
，所以
；
所在的直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直
设平面
的法向量为
，则
,即
,
取，则，即,
同理可求得平面的法向量为
设二面角的平面角为，则
则，即，解之得或，又,
所以或
19.(1)列联表补充如下 中老年 青年 合计 支付宝用户 60 120 180 非支付宝用户 90 30 120 合计 150 150 300 ,
故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.
·7·
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布
所以的分布列为 0 1 2 3
20.(1)依题意：
,则
，即
又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为
(2)设,
,
联立直线和椭圆的方程得：
当时有：
由得：,即,
整理得：,所以,
化简整理得：，代入
·8·
得：,
解之得：或,
点到直线的距离,
设，易得或，则,
当时；当时，,
若，则；若，则，当时，
综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.
21.解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，
设，则，显然时递增；
时，递减，故，于是，
所以时，递减；时，递增；
(2)由(1)知，
函数在递增，在递减，所以
又当时，,
·9·
讨论： ①当
时，
，此时：
因为时，递增；时，递减；
所以，无极小值；
②当时，，此时：
因为时，递减；时，递增；
所以，无极大值；
③当时，
又在递增，所以在上有唯一零点,且,
易证：时，，所以,
所以
又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：
当当
时，时，
递减；当递减；当
，
，
递增；
递增；
所以，，,
.
·10·
22.解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，
得曲线的极坐标方程，
对于曲线,,则曲线的极坐标方程为
(2)由(1)得,，
因为
，则
23.(1)解：
所以
,即
(2)由，则原式等价为：，即,
而
故原不等式成立
,
·11·
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