复变函数及积分变换习题册

第一章 复数与复变函数

本章知识点和基本要求

掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；

熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题

1、若等式i(57i)(xi)(yi)成立，则x______, y_______. 2、设(12i)x(35i)y13i，则x ，y

12+3i3、若z=-，则z=

i1-i4、若z=(3+i)(2-5i)，则Rez=

2i45、若zi2i，则z 1i6、设z(2i)(2i)，则argz

7复数z1i的三角表示式为 ，指数表示式为 。

8、复数z122i的三角表示式为 _________________，指数表示式为

_________________.

9、设z12i,z21i，则Arg(z1z2)= _ _____. 10、设z2e,则Rez=____________. Im(z) 。z= 11、.方程z3270的根为_________________________________.

.

i4.

12、一曲线的复数方程是zi2，则此曲线的直角坐标方程为 。

13、方程Im(iz)3表示的曲线是__________________________. 14、复变函数wz2的实部u(x,y)_________,虚部v(x,y)_________. z115、不等式z1z14所表示的区域是曲线 的部。

16、31=

二、判断题（正确打√，错误打）

1、复数

76i13i( )

2、若z为纯虚数，则zz. ( ) 3、若 a为实常数，则aa （ 4、复数0的辐角为0.

5、f(z)uiv在z0x0iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ 6、设z1,z2为复数，则z1z2z1z2。 （ 7、z1z2z1z2 （ 8、参数方程zt2ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线yx2. ( )

三、单项选择题

1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是 （ ） A.z·z=Re(z·z)

B. z·z=Im(z·z) C. z·z=arg (z·z)

D. z·z=|z|

.

.

） ） ）

）

.

2、方程z38 的复根的个数为 （ ）

A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当z1i时，z100z75z50的值等于 （ ） 1iA i B i C 1 D 1 4、方程z23i2所代表的曲线是 （ ）

A 中心为23i，半径为2的圆周 B中心为23i，半径为2的圆周 C中心为23i，半径为2的圆周 D中心为23i，半径为2的圆周

四、计算题

1．求出复数z(1i3)4的模和辐角。

2Re(z3)4,求x与y的关系式 满足zxiy2．设

.

.

3、将复数z126i化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1-cosj+isinj,(0＃j

.

p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

.

5．将直线方程2x3y1化为复数形式。

6、求以下根式的值：

（1） 22i (2)

.

3i (3) 41

本章知识点和基本要求

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解析函数第二章

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理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；

掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；

掌握解析函数的基本性质；

了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题

1、Ln(1i)的主值为

2、Ln(-i)= ，主值为 3、设ez34i , 则Re(iz)_________________ 4、3i_____________________________. 5、(1i)i________________________. 6、i1i 7、指数函数ez的周期是 8、设f(z)(1z)ez，则f(z)

9、设f(z)x3y3ix2y2，则f(1i)

(i)= 10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析，则f¢11、.函数f(z)uiv在z0x0iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。 二、判断题（正确打√，错误打）

1、.若f(z)在区域D处处为零，则f(z)在D必恒为常数。 （ ）

2、.若f(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。 （ ） 3、函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z0x0iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点

.

.

(x0,y0)可微。 （ ）

4、sinz1.. （ ） 5、函数ez是周期函数。 （ ） 6、设函数f(z)在点z0处可导，则f(z)在点z0处解析。 （ ） 7、对于任意的复数z1,z2，等式Ln(z1.z2)Lnz1Lnz2恒成立。 （ ） 8、不等式Re(z)2 表示的是有界闭区域。 （ ） 9、对于任意的复数z，整数n，等式LnznnLnz恒成立 （ ）

三、单项选择题

1、下列点集是单连域的是 （ ）

A．Re(z)>2 B.1C.z£1 D.2＃argZ2+p

2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Imz0 B.Rez0 C.0z1 D.

4argz3

3、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的 （ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4、下列说确的是 （ ）

A、f(z)在z0可导的充要条件是f(z) 在z0处解析。

B、f(z)在z0可导的充要条件是 u,v在z0处偏导数连续且满足CR条件。 C、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处连续。

D、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处可微且满足CR条件 5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（ ）

.

.

A.sinz是周期函数 C.|sinz|1

B.sinz是解析函数 D.(sinz)cosz

6、以下说法中，错误的是 （ ）

A．复指数函数ez具有周期 B.幂函数za(a为非零的复常数)是多值函数 C．对数函数Lnz为多值函数 D.在复数域sinz和cosz都是有界函数 7、设f(z)sinz，则下列命题中错误的是（

）。

A．f(z)在复平面处处解析 B．f(z)以2为周期

eizeizC．f(z) D．f(z)是无界的

2四、计算题

判断下列函数在何处可导，在何处解析？ (1)f(z)2x33y3i

(2)f(z)(xy)22(xy)i

.

(3) f(z)xy2ix2y

.

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第三章 复变函数的积分

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本章知识点和基本要求

了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；

理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；

了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。

一、填空题

11dz ，dz1、设曲线C是正向圆周z2，则Ñ ，2Ñ(z1)z1CCÑ(z1)Cez2dz 。

2、设C为从点z1i到点z20的直线段，则zdz_______.

C13、若C为正向圆周z2，则ÑCzdz________.

2z2z1dz，4、若f()Ñ则f(35i)__ ___,f(1) . 2，zz2f(1)

ez________ dz(c:z4)5、Ñ的值是cz3二、单项选择题

1、若f(z)在D解析，(z)为f(z)的一个原函数，则（ ） A.f(z)(z) C.(z)f(z)

B. f(z)(z) D. (z)f(z)

2、下列积分中，积分值不为0的是 （ ）

.

.

3zA.Ñ ， B.(z2z)dzez12Ñdz ，z2 Ccsinzcoszdzdz，z2 C.Ñ， D.z1Ñzz1cc三、计算题

1、沿下列路径计算积分zdz

C(1) 从原点到3i的直线段

(2) 从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3i。

2、沿下列路径计算积分z2dz

C(1)从原点到1i的直线段

(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1i。

.

.

3、计算coszdz。 4、计算积分0i3i0(2z3)dz.

5、(xyix2)dz，其中C是从点0到1i的直线段。

C

6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分

.

2z3dz的值。

Cz.

7、ÑC1dz，C为正向圆周z2 z21

8、计算积分Ñ

.

dz，其中C为圆周Z3，且取正向。

C(zi)(z4).

9、计算Ñ2z12idz，其中C为正向圆周z3.

C(z1)(z2i)

10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向） （1） Ñz1cz(z2)dz，z3 （2）

.

Ñdzc，z1(zi2)(z2)

（3）

.

.

Ñcoszcz3dz，z1 (4) Ñeizc(zi)3dz，zi1 .

第七章 傅里叶变换

本章知识点和基本要求

掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；

掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。

一、填空题

ìï0 ,t<01、设f(t)=ï，则F[f(t)]= í-5tïïîe,t³00, t02、设f(t)t，则F[f(t)]________

e, t03、F[1]_______ 4、设F[f(t)]1，则f(t) ； i5、设f(t)=sin2t，则F[f(t)]= ； 6、设F[f(t)]=F(w)，则F[(t+5)f(t)]= ；

.

.

7、设F[f(t)]F()，t0 为实常数，则F[f(tt0)] ； 8、F[(tt0)] ；

9、设F[f(t)]=F(w)，则f(1t)的傅氏变换F[f(1t)] ； 10、F[f(t)]F()，则F[tf()d]_______

11、已知f(t)t，且F[f(t)]二、单项选择题

22，则F1[2] 2(2)1、下列变换中，正确的是 ( )

A.F[(t)]1 B. F[1]() C. F1[()]1 D. F1[1]u(t) 2、设F[f(t)]F()，则F[(t1)f(t)]为 ( )

A. iF()F() B. iF()F() C. iF()F() D. iF()F() 3、tt0的傅里叶变换F(tt0)为 （ ）

A．1 B。t0 C。eit0 D。eit0

4、设F[f(t)]F()，则F[(2t3)f(t)] （ ）

A.2iF()3F() B. 2iF()3F() C. 2iF()3F() D. 2iF()3F() 5、设F[f(t)]F()，则F[(t2)f(t)] （ ）

A.F()2F() B. F()2F() C. iF()2F() D. iF()2F() 6、设f(t)cos0t，则F[f(t)] （ ）

.

.

A.[(0)(0)] B. [(0)(0)] C.i[(0)(0)] D. i[(0)(0)] 7、设f(t)(2t)ei0t，则F[f(t)] （ ）

A e2i2(0) B e2i2(0) C e2i2(0) D e2i2(0) 8、设f(t)sin0t，则其傅氏变换F[f(t)] （ ）

A.[(0)(0)] B. i[(0)(0)] C.[(0)(0)] D. i[(0)(0)]

三、计算题

0,t12,1t01、已知函数f(t)，求它的傅里叶变换。

1,0t20,2t

ì-2,-1ïïïïî 0, 其他

.

.

0,t03、求函数f(t)t（其中0）的傅氏变换及其积分表达式。

et0

sintt4、求函数 f(t) 的傅氏变换，

0t并证明

0sinsintsint,t； d2210,t5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换

.

.

piww[d(+w0)-d(-w0)] 555pww（2）F(w)=[d(+w0)+d(-w0)]

555（1）F(w)=

6、用傅里叶变换求解下面的微分方程

x(t)x(t)(t),t

7、设F[f(t)]F()，列表给出下列函数的付里叶变换：

.

.

f'(t),f\"(t),tf(t),tf(t),f(tt0),f(tt0)，2tf()d,f(at)

0,t01,(t),(tt0),(tt0), f(t)t

e,t0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。

第八章 拉普拉斯变换

本章知识点和基本要求

理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念； 了解拉普拉斯变换存在定理； 掌握拉普拉斯变换的性质； 掌握用留数求拉氏逆变换的方法； 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；

应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

.

.

一、填空题

1、设F(S)=1-1SL[eF(S)]= ，则2S]= 2、L[(sin3t)¢3、L[etsint]

4、设f(t)u(3t5)，L[e3tf(t)] 5、L[etcost] 6、设L[f(t)]2, 则 L[e3tf(t)] 2s47、设f(t)(t1)2et，L[f(t)] 8、设 F(s)1，则L1[F(s)] 22(s1)9、设L[f1(t)]F1(S), F[f2(t)]F2(S)，则L[f1(t)*f2(t)] 10、设 F(s)s21L[F(s)] ，则2s16二、单项选择题

1、下列变换中，不正确的是 ( )

A.F[(t)]1 B.L[(t)]1 C. L[1](t) D. F[1]2() 2、设L[f(t)]F(s)，其中正确的是（ ）

A．L[f(t)]sF(s) B。L[eatf(t)]F(sa) C．L[f(at)]1F(s) D。L[eatf(t)]F(sa) a3、f(t)teat(a0) 的拉氏变换为 （ ） A.

1111 B. C. D. 22(sa)(sa)Sasa.

.

4、若F(S)1eS，则L1[F(S)] （ ） 2S1A.sin(t1) B.u(t1)sint C. u(t)sin(t1) D.u(t1)sin(t1) 5、设f(t)e2tcos3t 则L[f(t)] （ ） A.

3S2 B.

(S2)29(S2)293S3(S2) D.

(S2)29(S2)29 C.

s26、函数F(s)2 的拉氏逆变换为 （ ）

s1 A.(t)cost B.(t)cost C.(t)(1sint) D.(t)sint

eS7、设F(s)，则L1[F(S)] （ ）

S(S2)A e2(t1)u(t1) B u(t1)e2(t1)u(t1)

11C [1e2(t1)]u(t1) D [u(t)e2(t1)u(t1)] 22三、计算题

1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。

t(1) f(t)=eatsin2t （2）f(t)=cos2

5

(3)f(t)=2sinat-tsinat (4) f(t)=e2t+3e5t

.

.

(5)f(t)e2t5(t) (6)

(7)f(t)eatsint

（9） f(t)tcosat .

f(t)e2ttet （8）f(t)sin22t 10）f(t)(t2)2et（

.

（11）f(t)sintu(t2)

（13）f(t)tetsin2t

.

12）f(t)sin(t2)󰀀 （14）f(t)sin(t2)u(t2)（ .

ìï0 ,t<02、已知f1(t)=ï，f2(t)=íïïîsint ,t³0ì0 ,t<0ïï，求f1(t)与f2(t)的卷积íïïîcost ,t³0f1(t)*f2(t).

3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。 (1) F(S)=1S(S+1) (2)

(3) F(S)=b(S-a)(S-b) (4).

S)=e-5SF(S2+1

F(S)1S(S1)

.

(5)F(S)S3(S2)(S3) (6)

(7)F(s)2s3s29 (8)

(9)F(s)s22s1s(s1)2 .

(S)S2FS21

F(s)4(s4)(s2) .

4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。

-3yⅱ+2y=6e-t,y(0)=0,y(0)=0 (1)yⅱ

（2）yye2t1，y(0)0

.

.

(3)y¢+y=et , y(0)=0

(4)y\"(t)2y(t)2y2etcost满足初始条件：y(0)0y'(0)0的特解。

(5)y\"(t)3y'(t)2y2et 满足初始条件：y(o)2,y'(0)1的特解。

.

.

5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。

ìx¢+x-y=etï(1)ï , x(0)=y(0)=1 ítïïîy¢+4x-2y=11e

ì2xⅱ-y?+x=1ïï,x(0)=0,x¢(0)=0,y(0)=0 (2)íï¢ïîx-y=0

.

.

xxyet(3),x(0)y(0)1 ty3x2y2e

.

.

t2xyy'4(1e)(4) （x(0)0,y(0)0） 2t2x'y2(13e)

参考答案

第一章 复数与复变函数

一、填空题

1、x1,y6 2、x451713,y 3、i 4、 11112225ii1i554 7、2(cosisin)，2e 8、4(cos 6、isin)，4e6 5、

2244669、2k33333322i, 3, 1,1,1i 11、 12、x(y1)4 ,kZ 10、

22224x2y22x2yx2y2, 1 13、y2 14、 15、2222(x1)y(x1)y43.

.

16、1,1313i,i 2222二、判断题（正确打√，错误打）

1、 2、  3、 √ 4、  5、√ 6、√ 7、  8、

三、单项选择题

1、 A 2、 A 3、 B 4、 C

四、计算题

i222！、z16;Argz2k,kZ 2、xy1 3、43cosisin;43e3

3334、2sincos22isin2; 2sine2i2；argz2

5、z(t)3t12ti 6、（略）。 3第二章 解析函数

一、填空题

1、ln21i 2、2ki, i 3、Arg34i

224iln22k44、eiln32k 5、e 6、e2k1i2 7、2i 8、e(z2)

z9、32i 10、2i 11、必要条件

二、判断题（正确打√，错误打）

1、√ 2、 3、 4 5、√ 6、 7、√ 8、  9、 三、单项选择题

A C B D C D C

四、计算题

1、仅在直线y6x上可导。函数在复平面上处处不解析 3.

.

2、仅在直线yx1上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。 对于直线yx1上任意点z

3、仅在(0,0)点处可导。函数在复平面上处处不解析。

第三章 复变函数的积分

一、填空题

1、2i，0, 2ei 2、

13 3、0 4、0, 8i, 10i 5、2ei 2二、单项选择题

1、C 2、D

三、计算题

1122(3i)2，43i 2、(1i)3，i 3、sini 23331i

4、13i 5、 6、3i8 7、0

3

2i416ii8、 9、4i 10、2i，，i，

4i17e1、

第七章 傅里叶变换

一、填空题

111、 2、 3、2() 4、f(t)=i5iì0 ,t<0ïï í-2tïïîe,t³015、 6、iF5F 22217、eit0F 8、eit0 9、eiF 10、F 11、e2itt

i二、单项选择题

A B C A C A A B

三、计算题

1、1iw4(1-cosw)2isin(e-e-2iw-1) 2、F() 3、见课本P例。 4、 73173iwiw125、（1）f(t)=sin5w0t （2）f(t)=cos5w0t 6、x(t).

0, t0e,t0t 7、（略）

.

第八章 拉普拉斯变换

一、填空题

S3153S1S13e1、(t1)ut1 2、2 3、 4、 5、 22S3S9S11S116、

2S324 7、

2S132S1211 8、sinttcost

2S19、F1SF2S 10、cos4t1sin4t 2二、单项选择题

C D C D B D C

三、计算题

11Sa1125S2a2aS1、⑴  ⑵ ⑶ 22222222SaSa42S25S4SaSa ⑷

131111 ⑸ ⑺ 5 ⑹ 22S2S5S2S2S1Sa1S2a211S244⑻ 2 ⑼ ⑽ 322222SS16S1S1S1Sa4S1e2Scos2Ssin22Scos2Ssin2⑾ ⒀ ⒁2 e ⑿ 22S1S21S21S1412、tsint

2b12tttatbte13、⑴ 1e ⑵ sin(t1)u(t1) ⑶ ⑷ ⑸eee6e3t ab5 ⑹ tsint ⑺ 2cos3tsin3t ⑻ 2e2te4t ⑼ 4tee2

tt4、⑴ e3e2e ⑵ 12ee ⑶ ⑷ YStt2tt2t1ttee 21t72ttt, y(t)tesintyte4ee ⑸ 2233S2S2t3tt3t2S15、⑴ xt2ee,yt3e4e ⑵ xt1cost,ytsint

.

.

⑶ xtytet ⑷ xt32ete2t,yt24et2e2t

.