(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：10，分数：40.00)
1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______ （分数：4.00） A.F(x)+F(-x)=1． B.F(1+x)+F(1-x)=1． √ C.F(x+1)+F(x-1)=1． D.F(1-x)+F(x-1)=1．
解析：[解析] 由于X～N(1，σ )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，而 可知正确答案是B．
2.设X～P(λ)，P 1 ，P 2 分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______ （分数：4.00） A.P1=P2． B.P1＜P2． C.P1＞P2． √
D.P1，P2大小关系不定． 解析：[解析] 若X～P(λ)，则 X取奇数的概率为 于是 应选C．
3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A． B． ，其中X取偶数的概率为
2
2
，由此C．F(-a)=F(a)． D．F(-a)=2F(a)-1．
（分数：4.00） A. B. √ C. D.
解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成立；利用区间可加性得
结合上面的等式，于是得 应选B．
4.设二维随机变量(X，Y)在区域D:x +y ≤9a (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X +9Y ≤9a }，则 A．p的值与a无关，且 B．p的值与a无关，且 222222
C．p的值随a值的增大而增大． D．p的值随a值的增大而减小．
（分数：4.00） A. B. √ C. D.
解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x +y ≤9a 上服从均匀分布， 所以(X，Y)的联合密度函数为 故选B．
5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______
（分数：4.00） A.a-b=1． B.a-b=0． C.a+b=1． D.a+b=0． √
解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2． 又Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协方差的性质有 故选D．
6.已知总体X的期望E(X)=0，方差D(X)=σ ．X 1 ，…，X n 是来自总体X的简单随机样本，其均值为
，则下面可以作为σ 无偏估计量的是______ A． B． C． D．
（分数：4.00） A. B. C. √ D.
2
2
2
2
2
解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X )=σ ，则 22
所以选择C．对于A，B选项，由E(S )=σ ，知 2
均不是σ 的无偏估计量．
7.设随机变量序列X 1 ，…，X n ，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时， 于其数学期望，只要{X n ，n≥1}满足______ （分数：4.00）
A.有相同的数学期望． B.服从同一离散型分布． C.服从同一泊松分布． √ D.服从同一连续型分布．
解析：[解析] 辛钦大数定律的应用条件为：“独立同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同一分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C． 8.设X 1 ，X 2 ，…，X n 是来自总体X的简单随机样本， A． B． C． D．
（分数：4.00） A. B. C. √ D.
解析：[解析] 故选C．
9.设总体X服从正态分布N(0，σ )，X 1 ，X 2 ，…，X 10 是来自X的简单随机样本，统计量 从F分布，则i等于______ （分数：4.00） A.4． B.2． √ C.3． D.5．
解析：[解析] 因为X 1 ，X 2 ，…，X 10 是来自X的简单随机样本，故独立同分布于N(0，σ ) 因此 又 ，则有
与 相互独立，故
2
2
22
依概率收敛是样本均值，C为任意常数，则______
服与Y比较，得 故选B．
10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0 ，那么犯第二类错误是指______ （分数：4.00） A.H0成立，接受H0． B.H0不成立，接受H0． √ C.H0成立，拒绝H0． D.H0不成立，拒绝H0．
解析：[解析] 直接应用“犯第二类错误”=“取伪”=“H 0 不成立，接受H 0 ”的定义，选择B．
二、解答题(总题数：10，分数：60.00)
11.每次从1，2，3，4，5中任取一个数，且取后放回，用b i 表示第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) ，三阶方阵
（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：对增广矩阵 于是Ax=b有解的充要条件是 同： ，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1 ，b 2 ，b 3 相互独立，且分布律相
作初等行变换有
T
，求线性方程组Ax=b有解的概率．
，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．
所以Ax=b有解的概率为
甲、乙两个人投球，甲先投，当有任一人投进之后便获胜，比赛结束．设甲、乙命中率分别为p 1 ，p 2 ，0＜p 1 ，p 2 ＜1． 求：（分数：6.00）
(1).甲、乙投球次数X 1 与X 2 的分布；（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：每次投篮是相互独立的与其他几次无关．
事件X 1 =n表示“甲投了n次”，即“甲、乙各自在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或乙投进”，所以
P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i ，i=1，2．
事件“X 2 =m”表示“乙投了m次”，即“甲、乙前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，乙在第m次投进”，或“甲、乙前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”． 特殊地，当m=0时，表示甲第一次就投中，所以
P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) ，m=1，2，… (2).若使甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则p 1 ，p 2 满足什么条件?（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
m-1
m-1
n-1
解析：设事件A表示“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、乙前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) ，则 若甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则
，可得 ，即 n-1
12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，又 求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．
（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解法一： 应用单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)． 由于X在(0，1)内取值 所以 的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．
在(0，+∞)内单调可导，其导数h\"(y)=2e ，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．
所以Y的概率密度
-2y
因此其反函数 又因为X的概率密度 因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为 解法二： 用分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)． 当y≤0时，F Y (y)=0； 当y＞0时，0＜x=1-e ＜1，
最后一步是由于X服从(0，1)上的均匀分布． 故所求Y的分布函数为
将F Y (y)对y求导，得 设随机变量(X，Y)的概率密度为 试求：（分数：6.00）
(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0． ②当0＜x≤1，0＜y≤2时， ③当0＜x≤1，y＞2时，
-2y
④当x＞1，0＜Y≤2时， ⑤当x＞1，y＞2时， 综上所述，分布函数为
(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：当0≤x≤1时， 当0≤y≤2时，
(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X}及正确答案：() 解析：如下图所示，
如下图所示，
所以 2
2
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x +y ≤1}上的均匀分布，定义
（分数：6.00）
(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：由题设可知 ，故
(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)． 则
(U．V)的联合分布律为
(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为 (3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析： 所以所求V的分布律为 13.设随机变量X的概率密度为
（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：记 ，求随机变量 的分布函数F Y (y)．
，所以
如下图所示，φ(x)在[0，+∞)内最小值为-1，无最大值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间． 当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．
当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的水平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为
F Y (y)=f X (x)在 上的积分为
当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的水平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为
，此时 F Y (y)=f X (x)在 上的积分为
综上所述，y的分布函数为 布．（分数：6.00）
设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分
(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独立；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为
而变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为
再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 又
所以
由于f X (x)f Y (y)≠f(x，y)，所以X与Y不独立． (2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：如下图所示，
(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为
则
故
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为 求：（分数：6.00） (1).（分数：3.00）
，Y的概率密度函数为 ，设Z=X+Y．
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析： (2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：F Z (z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独立，故
①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从而F Z (z)=0； ②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时， ③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，
④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时， ⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时， 综上
故 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：（分数：6.00）
(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：当u＜0时，F 1 (u)=0； 当u≥0时，
故U的分布函数F 1 (u)为
(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：当v＜0时，F 2 (v)=0； 当v≥0时，
故V的分布函数F 2 (v)为
(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独立．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
，令随机变量U=X+Y，V=X-Y．
解析： -2v
-u
2
当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1 (u)·[1-F 2 (v)]=e (1-e ) ≠P{U≤u，V≥v}，从而可知，U与V不独立．
设二维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从二维均匀分布，随机变量 求：（分数：6.00）
(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图． 依题意知，X与Y的联合概率密度为
则有 同理
类似地可以计算出其他P ij 的值：
(2).讨论U和V的相关性和独立性．（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出
所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；又因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独立．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容