摘要：先给出复变函数的零点及阶数，再根据零点和孤立奇点的关系，给出判断孤立奇点类型的方法.关键词：零点；阶数；孤立奇点中图分类号：O174.5
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2018）39-0203-02
一、引言
在复变函数[1]中，把孤立奇点分成三种类型：可去奇点、极点和本性奇点.教材中给出了两种判别孤立奇点类型的方法，一种是在奇点的去心邻域内将函数展开成罗伦阶数，根据负幂项的有无及多少来判断，但是要将有些函数展开成罗伦阶数比较困难；另外一种是对函数求极限，根据极限值来判断，此种方法可以求出孤立奇点是函数的哪一类奇点，但若是函数的极点，却不能判断出极点的阶数.
一些文章[2-6]也给出了求孤立奇点类型的方法.本文先求出函数分母的零点，再根据零点和孤立奇点的关系，最后给出判断复变函数孤立奇点类型的方法.
二、函数的零点（一）没有因子表达式的零点1.定义：若不恒等于零的函数（fz）可表示成（fz）=（z-z0）渍（z），其中函数渍（z）在z0解析，且渍（z0）≠0（m≥1）且为正整数，那么z0称为函数（fz）的m阶零点.
例1：求函数z-z-z+1的零点及阶数.
因为z-z-z+1=（z-1）（z+1），所以z=1是2阶零点；z=-1是1阶零点.
例2：证明z=0是函数z-sinz的3阶零点.证明：将sinz在0点展开成泰勒级数，然后得
3131517z-sinz=z-z-z+z-z+……=z
5!7!3!
11214-z+z+……
7!3!5!
11214-z+z+……在0解析，且在0点的值而
3!5!7!
不等于0，
∴0是函数z-sinz的3阶零点.
32232m若函数（fz）不易表示成（z-z0）渍（z）的形式，则可用定理1[1]判定.2.定理1：若函数（fz）在z0解析，则z0是函数（fz）的m（m≥1）阶零点的充要条件：f（z0）=0，n=0，1，2，…，m-1，f（z0）≠0.
（二）函数（fz）=P（z）·Q（z）的零点推论：若函数（fz）=P（z）·Q（z），且z0是函数P（z）的m（m≥1）阶零点，也是函数Q（z）的n（n≥0）阶零点，则z0是函数（fz）=P（z）·Q（z）的m+n阶零点.根据定义、定理及推论，并结合泰勒展式，得到函数（fz）的零点及其阶数.
g（z）
三、函数（fz）=的奇点
h（z）
函数的零点与极点有下面的关系：定理2[1]：如果z0是函数（fz）的m阶极点，那么z0就是1
的m阶零点.反之亦然.（fz）
根据定理2，可得到如下推论：
g（z）
推论2：若函数f（z）=，点z0是函数h（z）的
h（z）
m（m≥1）阶零点，也是函数g（z）的n（n≥0）阶零点，
则：（1）当n≥m时，点z0为函数（fz）的可去奇点；函数
（2）当n＜m时，点z0为函数（fz）的m-n阶极点.证：∵点z0是函数h（z）的m（m≥1）阶零点，∴h（z）=（z-z0）渍（z），其中函数渍（z）在z0点解析，且渍（z0）≠0；
又∵点z0是函数g（z）的n（n≥0）阶零点，
∴g（z）=（z-z0）准（z），其中函数准（z）在z0点解析，
nm（m）（n）m蓸蔀蓸蔀蓸蔀收稿日期：2018-01-15
基金项目：西安理工大学教育教学改革研究项目（109-251041607）作者简介：苗保山，男，讲师，硕士，研究方向：计算数学。
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2018年9月第39期教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUMSept.2018NO.39且准（z0）≠0.
n-m准g（z）（z）准（z）=（z-z0），其中函数在z0h（z）渍（z）渍（z）准（z）点解析，且≠0，
渍（z）∴（1）当n≥m时，函数（fz）在点z0的去心邻域的洛
∴（fz）=
相同的结论.
（4）分母中，z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是因式1+e的1阶零点，且当k=0，-1时对应的±i也是因式1+z的1阶零点，所以±i是分母（1+e）（1+z）的2阶零点；z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是分子的0阶零点.
1
所以±i是函数的2阶极点，而z=iπz2（1+e）（1+z）
1
（1+2k），k=1，±2，……是函数的1阶极πz2（1+e）（1+z）
点.
（5）因为z=0，±1，±2，……是分母（sin（πz））的3阶零点；又因为z=0是分子z（z-1）的1阶零点，z=1是分子z（z-1）的2阶零点.所以z=0是函数的23（sin（πz））阶极点，z=1是的2阶极点，z=-1，±2，……3（sin（πz））是函数的3阶极点.3（sin（πz））
本文所给方法与文章[2-6]所给方法略有不同，该方法是先得到函数分母的零点及其阶数，再判断该零点是函数分子的几阶零点，从而得到函数孤立奇点的类型，有助于计算复变函数沿封闭曲线的积分.
参考文献：
[1]李红,谢松法.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2013.
[2]夏志.一类复变函数极点阶数的确定[J].渤海大学学报,2005,26(1):49-51.
[3]喻敏,王文波,马建清,胡佳.一类极点阶数的判断[J].高师理科学刊,2016,36(5):18-19.
[4]赵伟舟,景慧丽,张辉.复函数的极点判定问题研究[J].赤峰学院学报(自然科学版),2016,32(4):3-4.
[5]胡平.解析函数的m阶极点的一个特征[J].青海师范大学学报(自然科学版),2012,3:1-2.
[6]王文琦.确定复杂复变函数极点阶数的一种方法[J].山西大同大学学报(自然科学版),2012,28(1):19-20.
2232πz2πz朗展开式中没有（z-z0）的负幂项，故点z0为函数（fz）的可去奇点.
（2）当n＜m时，（fz）=
-（m-n）准g（z）（z）=（z-z0），点z0h（z）渍（z）为函数（fz）的m-n阶极点.
例3：求下列函数的孤立奇点及其类型，如果是极点，并求出极点的阶数.
sinzsinzsinz1
（1）；（2）；（3）3；（4）；πz2zzz（1+e）（1+z）（5）.3（sin（πz））解：（1）0是分母z的1阶零点，是分子sinz的1阶零
sinz
点，所以0是函数的可去奇点.
z
sinz1214由=1-z+z-……，0＜z-0＜+∞也可
z3!5!
得出此结论.
（2）0是分母z的1阶零点，是分子sinz的3阶零点，所以0是函数
333z（z-1）
2z（z-1）
2z（z-1）
2（z-1）z
2sinz
的可去奇点.z
3sinz218114由=z-z+z-……，0＜z-0＜+∞可
z3!5!sinz
看出洛朗展开式中没有负幂项，所以0是函数的
z
可去奇点.
（3）0是分母z的3阶零点，是分子sinz的1阶零点，
sinz
所以0是函数3的2阶极点.
z
sinz-2112由3=z-+z-……，0＜|z-0|＜+∞可得出
3!5!z
33TheMethodtoDetermineIsolatedSingularPointfortheComplexFunction
MIAOBao-shan1,ZHANGWen-ying2,XIENi1,TONGXiao-hong1(1.SchoolofScience,Xi'anUniversityofTechnology,Xi'an,Shaanxi710048,China)(2.AcademicAffairsOffice,Xi'anUniversityofTechnology,Xi'an,Shaanxi710048,China)
Abstract:Firstly,thezeropointandorderofcomplexfunctionbepresented,andthenthemethodbegiventodeterminethetypesoftheisolatedsingularpointaccordingtotherelationshipofthezeropointandisolatedsingularpoint.
Keywords:zeropoint;order;isolatedsingularpoint
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