2０16－20１7学年江苏省南京市高一（下)
期末数学试卷
一、填空题(共1４小题，每小题5分,满分70分） １。（5分)直线y=
ｘ﹣2的倾斜角大小为 .
2。(5分）若数列｛ａn｝满足a1＝１,且an＋1=2aｎ，n∈N*,则a６的值为 ．
3。（5分）直线3ｘ﹣４y﹣1２=０在x轴、y轴上的截距之和为 。 ４．（5分)在△ＡBC中，若a=为 ．
5．(５分）不等式（x﹣１)（x+2)＜0的解集是 . ６.(5分)函数ｙ=sｉnx﹣ｃosｘ的最大值为 。 7。(5分）若函数ｙ=x＋为 .
８．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为２,斜高为则该正四棱锥的体积为 。
,
,ｘ∈(﹣２，+∞），则该函数的最小值
,b=
，A=120°，则B的大小
9。(5分)若sｉn（θ+)=为 。
，θ∈(，），则cosθ的值
--
--
10．（5分）已知a，b,c是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 。
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b; ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a⊥α,ｂ⊥α，则ａ∥b; ④若ａ⊥α，α⊥β，则α∥β。 11．（5分）设等比数列｛an｝的公比q，前n项和为Ｓｎ.若S３，S2，S4成等差数列，则实数q的值为 ．
12．(5分)已知关于x的不等式（ｘ﹣１)（x﹣2ａ）〉0（a∈Ｒ）的解集为A,集合B=(２，3）．若Ｂ⊆A,则a的取值范围为 。 1３。（5分）已知数列｛an｝满足a1=1，且an+1﹣an=2ｎ，n∈Ｎ＊，若≤3ｎ对任意n∈N＊都成立，则实数λ的取值范围为 . 14．(5分）若实数x，y满足x＞y〉0,且值为 ．
二、解答题（共6小题,满分９0分） １5。（1４分）已知sｉnα=，α∈（（1）求sin（
﹣α）的值；
，π）.
+
=1,则x+y的最小
+19
(2)求tan2α的值。
１6．（１4分）如图，直三棱柱AＢＣ﹣A１B１C1中，CA=CB,M，Ｎ，Ｐ分别为ＡB，Ａ1C１，BＣ的中点. 求证：（1）Ｃ1Ｐ∥平面ＭＮC；
（2)平面ＭNＣ⊥平面ABB1A1．
--
--
17．（14分)已知三角形的顶点分别为Ａ(﹣１,3），Ｂ（3，2）,C(１，０)
(1)求BＣ边上高的长度;
（2)若直线l过点C，且在l上不存在到A,B两点的距离相等的点，求直线l的方程．
18．(16分)如图,在圆内接△ABC,A，B,C所对的边分别为ａ，ｂ,c，满足acｏsC＋ccosＡ=2bcosB。 (１)求B的大小；
(２）若点D是劣弧上一点,AB=3,ＢC＝２，AD＝1，求四边形ABCD的面积。
19.(16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AＢ为4米,它所占水平地面的长AC为8米。该广告画最高点E到地面的距离为1０.5米.最低点Ｄ到
--
--
地面的距离6.５米。假设某人的眼睛到脚底的距离ＭＮ为1．５米,他竖直站在此电梯上观看DＥ的视角为θ．
（１)设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离； (2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大?
２0．（1６分）已知等差数列｛an}和等比数列｛ｂｎ}，其中｛aｎ｝的公差不为0．设Ｓn是数列｛an｝的前n项和．若a1,a2,a５是数列{bｎ}的前3项，且S4=１6．
（1）求数列｛an｝和｛bn}的通项公式； （2)若数列{
｝为等差数列,求实数t；
（3）构造数列a1,ｂ1，ａ2,b1，ｂ2,ａ3，b１,b２,b3，…，ak，ｂ１,ｂ2,…,b
ｋ
，…,若该数列前n项和Tn=18２１,求n的值.
2016-2017学年江苏省南京市高一(下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共１4小题,每小题5分，满分70分） 1．（5分）直线y=
x﹣2的倾斜角大小为 6０° ．
，
，
【解答】解：由题意得:直线的斜率是：ｋ=
设倾斜角等于α，则 0°≤α＜180°,且taｎα=
--
--
∴α=６0°, 故答案为 60°．
２．（５分）若数列｛aｎ}满足a1=1，且aｎ+1＝2ａn，ｎ∈N＊，则a6的值为 ３2 ．
【解答】解：∵数列｛ａｎ}满足a1＝1，且an+１＝2an，ｎ∈N＊, 则a６＝1×2５=32。 故答案为：32．
３。（５分）直线3x﹣4y﹣12＝0在x轴、y轴上的截距之和为 1 。 【解答】解:直线3x﹣4ｙ﹣１２=0化为截距式：
=1，
∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、ｙ轴上的截距之和=4﹣3=1． 故答案为：1.
4。（5分)在△ＡBC中，若a=45° 。 【解答】解:∵a=∴由正弦定理∵ｂ〈a，B为锐角, ∴B=45°. 故答案为:４５°。
5。(5分)不等式（x﹣1)(x+２）＜０的解集是 （﹣２，1) ． 【解答】解:方程（x﹣1）(ｘ＋2）=0的两根为1、﹣２， 又函数y＝（x﹣1）(ｘ+２)的图象开口向上， ∴（ｘ﹣1）（x+2）〈0的解集是（﹣2，1)，
--
，b=，A=１20°，则B的大小为
，b=，Ａ=1２０°,
=
=
,
,可得：sinB=
--
故答案为：（﹣2,１）．
６．(5分）函数y＝sｉｎx﹣cｏsｘ的最大值为 【解答】解：∵y=sinx﹣cｏsｘ ===
．
．
．
∴函数y=sinx﹣cosｘ的最大值为故答案为:
7．(５分)若函数y=x+4 ．
，ｘ∈（﹣２,+∞)，则该函数的最小值为
【解答】解：∵x∈（﹣2，＋∞）， ∴x＋2>0 ∴y=x+
=x＋2+
﹣2≥2
﹣2=６﹣2=４,当且仅当ｘ=1
时取等号,
故该函数的最小值为4， 故答案为:４
８。（５分）如图,若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为２，斜高为则该正四棱锥的体积为
．
，
--
--
【解答】解:如图,正四棱锥的高PO，斜高PＥ， 则有PＯ=
正四棱锥的体积为V=故答案为：.
，
＝2
,
９．（5分)若sｉn（θ+）＝为
．
）=
，θ∈（，),则cｏsθ的值
【解答】解：ｓin(θ+∵θ∈（∴θ+
，
)， ,π） )=﹣
.
，利用和与差构造即可求解．
∈(
∴cos（θ+
那么：ｃosθ=cｏs[(θ+ｓin（θ＋
）＝
)﹣］=cｏs（θ+＝
．
）cｏｓ+siｎ
--
--
故答案为：．
10．（5分)已知a,b，c是三条不同的直线，α，β,γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ③④ .
①若a⊥c,b⊥ｃ,则a∥b； ②若α⊥γ，β⊥γ,则α∥β; ③若ａ⊥α，ｂ⊥α,则ａ∥b; ④若a⊥α,α⊥β,则α∥β． 【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β,γ是三个不同的平面,知:
在①中，若a⊥c,ｂ⊥c,则ａ与b相交、平行或异面,故①错误; 在②中，若α⊥γ,β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误； 在③中,若ａ⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得ａ∥b，故③正确；
在④中，若a⊥α，α⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故④正确.
故答案为：③④．
1１.（5分)设等比数列{an｝的公比q，前n项和为Ｓｎ．若Ｓ3，S２,S4成等差数列，则实数q的值为 ﹣2 。
【解答】解：∵S3,S2,S4成等差数列,∴2Ｓ2=S3+S4,∴2a3+a4=0， 可得ｑ=﹣2． 故答案为：﹣2．
12．(5分)已知关于x的不等式（x﹣1)（x﹣２a)>0（a∈R)的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为 （﹣∞，1］ ． 【解答】解：关于ｘ的不等式（x﹣１)（ｘ﹣２a）〉0（a∈Ｒ）的解
--
--
集为A，
①2ａ≥1时，A=（﹣∞，1)∪（２ａ，+∞），∵B⊆A,∴２a≤2，联立
，解得
。
②2a＜1时,Ａ=（﹣∞，2ａ）∪（１，＋∞)，满足B⊆A,由2a＜1,解得a
。
综上可得：ａ的取值范围为（﹣∞，1］。 故答案为:（﹣∞,1]．
1３．（5分）已知数列{ａn}满足a1＝１，且aｎ+1﹣an=２n,n∈Ｎ*,若
+19≤３n对任意n∈N＊都成立,则实数λ的取值范围为 （﹣∞,﹣8] ．
【解答】解：∵a1=１，且ａｎ+1﹣an=２ｎ，n∈N*，即n≥2时，aｎ﹣an
﹣１
=2n﹣１。
∴an=(an﹣ａｎ﹣1)+(an﹣1﹣aｎ﹣2）+…+（ａ2﹣ａ1）+a1＝2ｎ﹣1＋2n﹣2+…+2＋１＝∵
＝2n﹣1． +19≤３n,化为：λ≤
=ｆ(ｎ）．
+19≤３n对任意ｎ∈N*都成立，⇔λ≤f(n）ｍin． 由f(n）≤0,可得n≤＞0.
f（n+1)﹣ｆ（n)=解得n≤
。
﹣
=
≤0,
,因此n≤６时,f(ｎ)<0；n≥7时，f（ｎ）
∴f(１）>f(2）＞f(3)＞f(4)〉f(5）〈f(６), 可得ｆ(n）ｍｉn=f（５）=﹣8.
--
--
则实数λ的取值范围为(﹣∞,﹣８］． 故答案为：（﹣∞，﹣8]．
14．（5分）若实数x,y满足x＞ｙ＞0,且小值为
.
+
=1,
＋=
=
．
+
＝1,则x＋y的最
【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且则y=
≥
当且仅当ｙ=，x＝故答案为:
。
时取等号． =
x
二、解答题(共６小题，满分90分） 1５。（1４分）已知sinα=,α∈(（１）求sin（
﹣α)的值;
,π）。
(２)求ｔan2α的值。 【解答】解:∵sinα=,α∈(∴cosα=可得：tａnα=(１)ｓin（＝
。
=
．
＝
． ．
cosα﹣coｓ
siｎα=×
，π）。
﹣α)=ｓin
（２)tan２α=
16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣Ａ1B1C１中,CＡ＝ＣB，M，N，P分
--
--
别为AB，A1C1，BC的中点. 求证:(1）Ｃ1P∥平面ＭＮC；
（２)平面MＮC⊥平面ＡＢＢ1A1。
【解答】证明:(1）连接MP，因为M、P分别为ＡB，BC的中点 ∵ＭP∥ＡC，MP=
,
又因为在直三棱柱ABC﹣Ａ1Ｂ1C1中,∴ＡC∥Ａ1C１,AＣ=A1Ｃ1 且N是A1C1的中点，∴MP∥C1Ｎ,MP=Ｃ1N ∴四边形MＰC1N是平行四边形，∴C１P∥MＮ ∵Ｃ1P⊄面MNＣ，MN⊂面MNＣ,∴C1P∥平面ＭNC; (２)在△ABC中，CＡ=CＢ，M为AB的中点，∴CM⊥AB． 在直三棱柱ABＣ﹣A1B１C１中,B1B⊥面ABC. ∵ＣM⊂面AＢC，∴BB1⊥CM
由因为BB1∩ＡB＝B,BB1,ＡB⊂平面面ABB1Ａ1 又ＣＭ⊂平面MNＣ， ∴平面MNC⊥平面ABB1A1．
１7.(14分）已知三角形的顶点分别为Ａ(﹣1，3），B(3，２）,C（1，0)
（1）求BＣ边上高的长度；
--
--
(２）若直线l过点Ｃ，且在l上不存在到A，Ｂ两点的距离相等的点，求直线l的方程。
【解答】解:(1）∵三角形的顶点分别为（A﹣1,３），Ｂ(3,2），（１,0）C, ∴ＢC的斜率为﹣y﹣1=0,
故BC边上高的长度即点Ａ到直线BC的距离，即
=
.
＝1，故直线BC的方程为y﹣0=1•(ｘ﹣1）,即 x
（2）∵直线ｌ过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点,∴直线l垂直于线段AB， 故直线l的斜率为
=
=４，故直线l的方程为y﹣0=4•(ｘ﹣
１),即4x﹣ｙ﹣4=0．
18．(16分）如图，在圆内接△ABC,A，B,C所对的边分别为a，b,c,满足ａcosC＋ccｏｓA=2bcosB. （1）求B的大小；
（2)若点Ｄ是劣弧上一点，AB=3，BＣ=2，AD=1,求四边形ABCD的面积.
【解答】解：（1）∵acosC+ccｏsA＝2ｂｃosＢ．
由正弦定理，可得sｉnＡcosC＋sinAｃｏｓA=2sinBｃｏsB．
--
--
得sｉnB=2sinBcosB. ∵0 . ， （2）在△ABC中，AB=3,ＢC＝2,B=由余弦定理，cos可得：AC= 。 = 在△ADC中，AC=∵B= . ． ，AD＝1，ＡＢCD在圆上, ∴∠ＡＤC= 由余弦定理，cos解得：DC＝２ ==. 四边形ＡBＣD的面积S=Ｓ△ABC+S△AＤＣ=AD•DC•sinin =２ . +AB•BC•ｓ １９.(1６分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图,该电梯的高AＢ为４米，它所占水平地面的长AＣ为8米。该广告画最高点E到地面的距离为１0。５米。最低点Ｄ到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离ＭN为1．５米,他竖直站在此电梯上观看ＤＥ的视角为θ. （１)设此人到直线ＥＣ的距离为x米，试用x表示点Ｍ到地面的距离； （2）此人到直线ＥC的距离为多少米,视角θ最大? -- -- 【解答】解：（１)由题意可知MG=CH=ｘ， 由△CHN∽△CAB可得∴NH＝, ∴M到地面的距离MＨ=MＮ＋NH=（2）ＤＧ=CD﹣CＧ=ＣＤ﹣MH=同理ＥG=9﹣, ∴tａn∠DMG＝∴= tan θ= ≥2=＝ =ｔ ，ｔan∠EMＧ＝an(= ∠ Ｅ， =3０ ,当且仅当５x= 即ｘ=３ MG ﹣ =∠ ， DM Ｇ ） ． ， ，即 , ∵0<ｘ≤8,∴５x+时取等号, ∴当x＝3 时,ｔanθ取得最大值，即θ取得最大值。 2０.（16分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an｝的公差不为０.设Ｓn是数列{an｝的前n项和.若a1，a2，a５是数列｛bｎ}的前3项，且S４=16． （1）求数列｛aｎ｝和｛bn｝的通项公式; -- -- （2）若数列{｝为等差数列，求实数t; （3）构造数列a1，ｂ1，a2，b１，ｂ２，ａ3，b１，b2，ｂ3,…,ａk,b １ ,b2，…,bk，…，若该数列前n项和Tn＝18２1，求ｎ的值． 【解答】解：(1)设{aｎ}的公差d≠0。∵a1，ａ２,ａ5是数列{ｂn}的前３项，且Ｓ4＝16. ∴ ,即 ，4ａ１+ =16， 解得a1=1,d=2, ∴aｎ=1+（n﹣1）×２＝２n﹣１． ∴ｂ１＝1,b2＝3，公比q=3。 ∴bn＝3n﹣1。 （２）Sn=∵数列{∴ =ｎ2.∴}为等差数列， = ＋ ，t2﹣2ｔ=０． ＝ ． 解得t=２或0，经过验证满足题意． (３)由(１）可得：Sn=n2，数列｛bn}的前n项和An=列｛Ａn｝的前n项和Un= ﹣ｎ= =﹣n． ．数 数列a1,b1，a２，ｂ1，b２，a3,b１,b2,ｂ3，…,ａk,ｂ１,b2,…,ｂｋ,…， ∴该数列前ｋ+ = 项和=k２＋ ﹣（ｋ﹣1）， ∵37=2187，38=656１。 ∴取k=８，可得前 =36项的和为： =170０， -- -- 令Ｔn＝1821=1７0０+∴n=36+5=4１． ,解得m=5. -- 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容