平行四边形及其性质（基础）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ． 【要点梳理】
【 平行四边形 知识要点】 知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
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【 平行四边形 例11】
1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
【答案与解析】
证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF是∠DAB的平分线， ∴ ∠DAF＝∠FAB， ∴ ∠DAF＝∠DFA， ∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在ABCD中，AD＝BC， ∴ DF＝EC．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件． 举一反三：
【 平行四边形 例12】
【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB=AD，CB∥AD ∴∠BCE＝∠DAF 在△BCE和△DAF中
CBADBCEDAFCEAF
∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA ∴BE∥DF
即 BE ∥DF且BE＝DF.
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2.（2016·永州）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF与△ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积，即可得出结果． 【答案与解析】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
又∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∴BE=CD．
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°
∴△ABE为等边三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2，
∴BF=23，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中，
DECFDAFE , AFEF∴△ADF≌△ECF（AAS）
∴△ADF的面积=△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=
11AEBF42343． 22【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、
等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
3.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF
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折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； (2）DG=B′G．
【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；
（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG≌△B′FG即可． 【答案与解析】 证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2=∠FEC，
由折叠得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2， ∴EG=GF， ∵AB∥DC，
∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F， ∴∠B′FG=∠EGF， ∵DE=BF=B′F， ∴DE=B′F，
∴△DEG≌△B′FG（SAS）， ∴DG=B′G．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
4.如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．
【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可． 【答案与解析】
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证明：∵F是BC边的中点，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E， ∵在△CDF和△BEF中
C＝FBECDF＝E CF＝BF∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴BE=DC， ∵AB=DC， ∴AB=BE． 【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF． 举一反三：
【变式】如图，已知在▱ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E． 求证：E是BC的中点．
【答案】
证明：在□ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C， ∵AB=FB， ∴DC=FB，
∴△DEC≌△FEB， ∴EC=EB，
即E为BC的中点．
类型二、平行线的性质定理及其推论
5.（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；
（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．
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【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可； （2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明； （3）结合（1）和（2）的结论进行求作． 【答案与解析】
解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求； （2）证明：∵l1∥l2， ∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h． ∴S△EGH=11GH×h，S△FGH=GH×h， 22∴S△EGH=S△FGH， ∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH， ∴△EGO的面积等于△FHO的面积； （3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．
【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等． 举一反三： 【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程． 探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD． 应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
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【答案】 探索：
证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA ∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA 在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD； 应用一：
证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴AB=DE ∵AB=CD， ∴DE=CD， ∴∠DEC=∠C ∵DE∥AB， ∴∠B=∠DEC， ∴∠B=∠C； 应用二、
解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F ∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF， ∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5， 故BC+AD=BC+CF=BF=5．
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