数学专业学年论文

学号 12509013011

学年论文

（2012级本科）

题 目: 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 柴丽娜 指导教师： 李劲 职称： 教授 完成日期： 2014 年 12 月 20 日

二○一四年十二月

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泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用

柴丽娜 指导教师：李劲

（河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号, 甘肃张掖 734000）

摘 要 二项分布、Poisson分布与指数分布是概率统计的基础,这3个分布存在密切的关系.本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.

关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数 中图分类号 O211

1 引言

许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系.在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系. 本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.

2 预备知识

2.1 相关定义 定义11（二项分布）

在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p（0P｛X=k｝=Cnkpk1pnk,k=0,1,2,…,n （1）

一般地,如果一个随机变量X的概率分布由（1）给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,并记作XB(n,p),且记

p)Cnkpk B(k;n,定义21（泊松（poisson）分布） 如果一个随机变量X的概率分布为

1pnk.

kPXke(k0,1,2,…) （2）

k!其中0为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X7

P().

定义3 (正态分布)

1一个连续性随机变量X,如果其密度函数为

（x）=12e(x)222 (x) （3）

其中,,0为常数,则称X服从参数为和0的正态分布,记作X称X为正态变量.

特别地,若X为

（x）=定义42(特征函数)

若随机变量X的分布函数为F(x),则称

(t)EeeitXitX(w)N(,2).此时

N(,2),=0，=1,则称X服从标准正态分布N(0，1),其概率密度函数

12ex22,) x(

P(dw)eitxdF(x) （4）

为X的特征函数.如果F（x）有密度f(x),则(t)就是f(x)的Fourier变换

(dx) (t)eitxfx2.2相关定理

定理13特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定. 证明 设A是F(x)的一切连续点的集合,对任意的xA,由逆转公式有

F(x)ylimF(x)F(y) yAjtyTe1ejtxlim(t)dt yT2jtyA所以,对于一切xA,F(x)的值唯一的由其特征函数(t)所决定.

若xA,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于x的F(x)的连续点x1,x2,…,则有

1lximFxn() F(x)xn2xnAejtyejtxlimlimlimtdt xnxyTTjtTxnAyA()于是,对于一切的xA,F(x)的值亦唯一的由其特征函数(t)所决定. 2.3相关结论

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结论1 二项分布B（n,p）：其概率分布为

P(Xk)CnPk(1p)nk k0,1,2,…n,0p1

其特征函数为

nkX(t)E(e)eitkCnpk(1p)nk

itXk0k=Cn(peit)k(1p)nk

k0nk(peit1p)n

结论2 泊松分布：设X,则其概率分布为

kek!P(Xk)2,, k0,1,…其特征函数为

X(t)E(e)eitXk0itxkek!

结论3 正态分布N(,)：其密度函数为

（x）=其特征函数为

12e(x)222 (x)

X(t)E(e)e=e

itX1itt22

k0eeiteitk!ee(eit1)

3 主要结论及证明（三大分布之间的关系）

3.1 二项分布与泊松分布的关系（二项分布的poisson逼近）

定理1 二项分布X：b(n,p),如果n很大,而P很小,设0,n为任意的正整数,npn,则对于任意给定的一个非负整数k,有

limCnp1pnnkknknkkekk!.

证明 由pnn

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Ckknnp1pnnkn(n1)…(n-k+1)k!nk1nnk

k12k1=1(1)(1)…(1)(1)n(1)k

k!nnnnn当n,k固定,

12k1k1(1)(1)…(1)1,(1)ne,(1)k1

nnnnn故有 limCnpnkkn(1pnnk)kekk!

所以当n很大时,p很小时有下列近似公式

Cknp(1p)knkkekk!

3.2 二项分布和正态分布之间的关系 定理 设随机变量Xnb(n,p)(0p1,n1,2,…),则对于任意x,有

2x1t2Xnnplimxedt(x)

n2np(1p)由上式可以得出当n充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近.

nk例 PXn和PaXnbkCnkp(1p)kakbCkknkpq在n充分大时计算非n常困难.

由于Xnnp近似服从N（0,1）或等价地Xn近似服从N(np,np(1p)),于是可以近

np(1p)似地用正态分布来计算上述概率,即

PXnkCnpk(1p)nk

1e2npq2knpk2npq

knp1 npqnpqXnnpbnpanpPaXnbP

np(1p)np(1p)np(1p)7

bnpanp

np(1p)np(1p)只要查一下标准正态分布表就可以得到PaXnb的相当精确的值.

3.3 泊松分布与正态分布之间的关系

二项分布可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似.所以泊松分布和正态分布在一定条件下也有近似关系,下面说明泊松分布的正态分布.

定理 设X()(0),泊松分布的分布函数PXxkxkek!与正态分布

1的分布函数F(x)=N（，）2xe(y)22dy是近似相等的.

证明 根据特征函数的唯一性定理可以得出分布函数F1(x)和F2(x)恒等的充分必要条件是他们的特征函数1(x)和2(x)恒等.

已知正态分布N(,)的特征函数是

X(t)E(e)e泊松分布的特征函数是

itX1itt22

X(t)E(eitX)e(e1)

对于任意的t, eit的幂级数展开为

t2it3e1it…,

23!itit忽略t3以后的各项,则有

t2e1it,

2it于是

(e1)ite(eititt222

1)eitt2

根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数PXxkxkek!与正态分布的分布函数

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F(x)=

12xe(y)22dy近似相等.

4 初步应用

例1 某大城市有一个繁忙的交通岗 ,若每天有100000人通过 ,每人出事故的概率为 0. 0001,求该天事故的人数 X不超过 2人的概率.

解法一：由题意可以知道XB100000，0.0001,由二项分布可以得 PX20.002769

解法二：用泊松分布近似二项分布.

即将数据代入

可以得到

10ke10PX20.002769

k!k02Cknp(1p)knkkekk!

解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布.

即将数据代入

bnpanpPaXnb

np(1p)np(1p)可以得到

PX22.533.160.00501

这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为0.00224151,这比用泊松分布产

生的误差要大.

例2 同类型仪器 300台,各仪器的工作相互独立,且发生故障的概率为0.01,通常一台仪器的故障可有一个人来排除.问：

（1）至少配备多少维修工人,才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于 0.01？

（2）若一个人包干 20台仪器,求仪器发生故障又不能及时排除的概率.

解：设 300 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数为X, 则 X~B(300,0.01).

设 X 表示发生故障的仪器台数,假若至少要配备x个工人,则按题意有P(X＞x)＜0.01,即

P(Xx)1C3000.01k0.99300k

k0xk此时用泊松定理则可以容易计算.

(1)有

np3000.013,

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3ke3PXx10.01,

k0k!x查询泊松分布表即可以得到x=8.

(2) 记 X 为 20 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数,则 X~B(20,0.01).

P(X2)1P(X2)

1C200.01k0.9920k

k01k1e0.20.2e0.20.017523

致谢 感谢李劲老师对本论文的指导.

参 考 文 献

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