《高数》(上)期中考试复习提纲

一、函数与极限

（一）函数

1、函数的定义

（1）映射的定义

若X,Y是两个非空的集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

) f:XYyf(x)x,XDfy,RffX(Y yf(x)xDfDyfD(f)fD( ) 简表之 Rff(X){f(x)xX}

其中D—映射f的定义域，f(D)—映射f的值域，f—映射的对应法则；x—元素y（在映射f下）的一个原像，y—元素x（在映射f下）的像，两者关系：yf(x)

fx未必唯一； y 值得提醒的是，10 xX,x是唯一的；而yRf,y 20 RfY,RfY （2）函数的定义

设数集DR,，则称映射f:DR为定义在D上的函数，通常简记为

),xD,fR yf(xf(D){yy(f)x, x}D? 式中x—自变量，y—因变量，D—定义域

可见，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数

2、函数的表示 （1）公式法；（2）图像法；（3）表格法 3、函数的形式

（1）显式函数 yf(x)；（2）隐式函数 F(x,y)0；

（3）参数式函数 xx(t),4、函数的特性

1

yy(t)

（1）有界性

若f(x)M，或mf(x)M，则函数具有界性 （2）单调性

若x,f(x)，则函数f(x)为单调增函数； 若x,f(x)，则函数f(x)为单调减函数。 注：单调性与区域有关

（3）奇偶性

若f(x)f(x)—偶函数； 若f(x)f(x)—奇函数 （4）周期性

若 f(xT)f(x)，则函数f(x)具周期性，周期T为一最小的正数 注：a) 若f(x)为周期函数，则f(xnT)f(x), b) 若ysinx, 则周期T2nZ；

；

c) 奇函数对坐标原点O对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对y轴对称； d）奇函数或偶函数，当且仅当函数yf(x)在(l,l)或[l,l]内（或上） 有定义时才有意义。 5、常用函数的类型 （1）基本初等函数

1）常值函数 yC（常数） 2）幂函数 yx,R（函数的定义域取决于的值）

3）指数函数 yax(a0,a1)，特殊地 yex

4）对数函数 ylogax(a0,a0)，特殊地 ylnx（自然对数） 5）三角函数

ysinx(x(,)),ycosx(x(,)),ysecx(xytanx(x2k,kZ),

ycotx(xk,kZ), 6）反三角函数

2k,kZ),ycscx(xk,kZ)

yarcsinx(x[1,1],y[,]),222

yarccosx(x[1,1],y[0,])

yarctaxnx((,y),(22,y))arc,xxcot(y(, ),(0,

（2）反函数

直接函数 yf(x),xD,yf(D)

反函数：1）xf1(y)(y) 2）yf1(x)(y)

注：10 当且仅当f:Df(D)单射时，它才存在逆映射f1:f(D)D， 即xf1(y)才存在，也因而yf1(x)才存在。当直接函数yf(x) 为一单调函数时，f:Df(D)为单射，其反函数必定存在。

20 xf1(y) 与 yf(x) 为同一条曲线；

yf1(x) 与 yf(x) 为两条曲线，对直线yx对称 （3）复合函数 若 yf(u),uDu，u(x),xDx，

当(Dx)Du时，复合函数f[(x)]存在，且xDx； 当(Dx)Du时，复合函数f[(x)]也存在，但xD'x

（4）初等函数

基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合而成的函数称为初等函数，

在其定义域内，初等函数连续且可导。 （5）分段函数

在自变量x的不同区域内函数有不同的形式。分段函数不是初等函数！ （6）双曲函数（初等函数）

1）双曲正弦函数sinhx与双曲余弦函数coshx

3

exexexex sinx， coshx h22 2）双曲正切函数tanhx与双曲余切函数cothx

exexexex tanhxx， cothxx xxeeee （7）反双曲函数 arsinhx,arcoshx,artanhx,arcothx

且有 arshxln(x1x2),archxln(xx21),arthx 这在求算饭双曲函数的导数时，很有用

（二）极限

1、数列的极限

11xln() 21x （1）数列— 一串无限个数项按其下标nN，由小到大的有序排列 x1,x2,......,xn,......{xn}，其中xn(n1,2,...)为通项 （2）数列的极限

若Limxna（确定、有限的常数），则数列{xn}有极限a，或者说数列{xn}收敛

n于a；反之数列{xn}发散。

注：数列极限的严格定义：

0,，若NN，当nN时，所有的xn都满足 xna， 则数列{xn}有极限，即Limxna ，或者说数列{xn}收敛于a。

n （3）数列收敛的几何意义

当数列{xn}收敛于a时，这意味着，实轴上在a的某个邻域U(a,)内有无穷多个点； 而在该邻域外仅有有限的N个点 （4）数列极限的性质 1）唯一性

若Limxna，则极限a唯一；

n 2）有界性

若Limxna，则{xn}有界，但逆定理不成立；

n 3）保序性

若LimxnaLimynb，则当nN时，xnyn；

nn 4

4）保号性

若Limxna0（或<0）, 则当nN时，xn0（或<0）

n 5）若数列{xn}收敛于a，则其子数列也收敛于a。 （5）数列极限的存在准则 1）夹逼准则

{yn}及{zn}满足下列条件： 若数列{xn}、 (a)n0当,nn0时，ynxnzn；(b)limynlimzna，

nn 则limxna

n 2）单调有界数列必有极限。

（6）数列极限的运算法则

若Limana，Limbnb，则

nn 1）Lim(anbn)ab；

nkak； 2）Lim(anbn)abLimCanCa；Limannnn 3）Limnana,(b0)。 bnb 2、函数的极限 （1）类型

1）Limf(x)A （确定、有限）

x Limf(x)A （确定、有限）

x 严格定义：若f(x)在当xM0时有定义，如存在一常数A，0，若X0，

使得xX时所有的f(x)都满足

f(x)A 则Limf(x)A

x 2）Limf(x)A （确定、有限）

xx0 严格定义：若f(x)在x0的某个去心邻域U(x0)内有定义，如果存在常数A，假如

0,使得当xU(x0,)时，所有f(x)都满足

5

00 f(x)A 则limf(x)A

xx0 几何意义：若limf(x)A，意味着，xU(x0,)时，Af(x)A，即f(x)xx00局部有界

注：10 xx0时，f(x)是否有极限，与f(x0)存在与否，若存在其值如何均无关。 20 Limf(x)A的充要条件是，左极限f(x00)与右极限f(x00)存在且相

xx0等，即limf(x)limf(x)A

xx0xx0 （2）性质

1）唯一性；2）局部有界性；3) 局部保序性；4）局部保号性。 （3）运算法则

若Limf(x)A,xx0xx0Limg(x)B，则

xx0 1）Lim[f(x)g(x)]AB； 2）Lim[f(x)g(x)]AB；

xx0 3）Limxx0f(x)A,g(x)B(B0)

（4）函数极限的存在准则 1）夹逼准则

2）单调有界的函数必有极限 （5）常见函数的极限

sinxtanx 1）Lim1 ，Lim1；

x0x0xx1sinx 2）Lim(1)xe；3）Lim0;

xxxxax1ex1lnalim1; 4）limx0x0xxln(1x)1cosx1；6）Lim21

x0x0xx/2（5）无穷小量与无穷大量

1）定义

5）Lim 若Limf(x)0，则称f(x)为xx0时的无穷小量，

xx0 Limf(x)0，则称f(x)为x时的无穷小量；

x 6

若Limf(x)，则称f(x)为xx0时的无穷大量，

xx0 Limf(x)，则称f(x)为x时的无穷大量；

x 2）性质

(a) 无穷小量的倒数为无穷大量； (b) 有限个无穷小量之和仍为无穷小量； (c) 有限个无穷小量之积仍为无穷小量； (d) 有界量与无穷小量之积仍为无穷小量； (e) 常数与无穷小量之积仍为无穷小量；

(f) 若Limf(x)A，则xx0时，f(x)A(x)，

xx0 其中(x) 为无穷小量。 3）无穷小量的阶

若(x),(x) 均为xx0时的无穷小量，则 (a) 当Limxx0(x)0时，(x)相对于(x)为高阶无穷小量； (x) (b) 当Limxx0(x)时，(x)相对于(x)为低阶无穷小量； (x)(x)C(0,1)时，(x)与(x)为同阶无穷小量； (x) (c) 当Limxx0 (d) 当Limxx0(x)1时， (x)与(x)为等价无穷小量； (x)C(0)时， (x)为n阶无穷小量。 xn 4）常见的等价无穷小量

(e) 当Limx0(x) 当x0时，(a)sinxx;(b)tanxx;(c)arcsinxx;

(d)arctaxnx;(e)(ax1)xlna，特殊地ex1x;

x2;(g)ln(1x)x. (f)1cosx2 7

注: 在求极限的乘除运算中可用等价无穷小量来替代。 3*、求数列极限或函数极限的方法归纳

（1）在求n的极限时，遇到分子与分母都出现“无穷大因子”的情况下，可用

分子分母的最高阶无穷大量分别去除分子与分母，以消去分子的“无穷大因子”；

（2）在分子分母都存在“零因子”时，可用因式分解，或有理化，再或在乘除运算

中用等价无穷小量替代，以消去分母的“零因子”；

（3）将待求极限的分式函数，通过变换变量的方法，变换成常用极限的标准形式，

再求极限。最常用的极限是：

(a)limsinxx0x1limsinax11xx0ax1；(b)lim(1xx)elim(1x0x)xe；

（4）运用数列或函数极限的存在准则求数列或函数的极限。

（三）连续 1、定义

若Limf(x)f(x0)， 则函数f(x)在点xxx0处连续。即函数f(x)必须同时

0满足三个条件：（1）Limxf(x)A 存在；

x0 （2）f(x)xxf(x00) 有定义；

（3）Af(x0)。

若函数f(x)在xD内处处连续，则称f(x)为xD内的连续函数。

又若f(x)在区间I上有定义，0总0，使得在I上任意两点x1,x2，当

x1x2时就有

f(x1)f(x2)，称函数f(x)在I上一致连续。

2、性质

1）若f(x),g(x) 均在x0处连续，则 f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)(g(x)0) 也在x0处连续。 2）若u(x) 在x0处连续，yf(u)在u0(x0)处连续，则 复合函数f[(x)]在x0处也连续，即f[(x)]xxf[(x0)]；

03）若Limxx(x)u0 存在，而yf(u)在u0处连续，则

0 Limxxf[(x)]f[Lim(x)]

0xx04）若yf(x)在其定义域I1x上单调连续，则其反函数xf(y)在相应的

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Iy上也单调连续；

5）若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则有界性定理、最值定理、介值定理与零点定 理均成立。 3、间断点

（1）第一类间断点 1）可去间断点

若Limf(x)A存在，但Af(x0)（包括f(x0)不存在与f(x0)但Af(x0)）；

xx0 此时可重新定义一新函数F(x)：

,x0f(x)x F(x)

A,xx0 显然，F(x)在x0点连续。可去间断点命名的来由也就在于此。 2）跳跃间断点

f(x)f(x00)与Limf(x)f(x00)均存在，但不相等 若Limxx0xx0（2）第二类间断点

1）无穷间断点

f(x)或者Limf(x)； 若Limxx0xx0 2）振荡间断点

若xx0时，f(x)振荡不定。

二、导数与微分

（一）导数

1、导数的基本概念 1）导数的定义

一阶导数的定义 f'(x0)Limh0f(x)f(x0)f(x0h)f(x0)f(x0x)f(x0)Lim Limxxx00xx0hx f'(x0)存在的充分必要条件是：f'(x0)与f'(x0)存在且相等。

2 n阶导数的定义 f(n)f(n1)(x0x)f(n1)(x0)(x0)Lim

x0x 2）导数的几何意义

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曲线yf(x)上切点(x0,y0)处切线的斜率等于f'(x0)， 因此，过切点(x0,y0)的曲线的切线方程为 yy(x0)f'(x0)(xx0)； 相应地过切点(x0,y0)的曲线的法线方程为 yy(x0)1(xx0),f'(x0)(f'(x0)0)。

3）导数的意义

dy y'，代表函数y对自变量x的变化率

dx4）函数可导性与连续性有极限以及有界性之间的关系 对一元函数yf(x)来说，

若f(x)在x0点可导→f(x)在x0点必连续→xx0时，f(x)极限必存在→f(x)必有界；但反之不然。

2、基本求导公式

（1）(C)'0；（2）(xa)'axa1,(aR)；（3）(ax)'axlna，(ex)'ex； （4）(logax)'11（5）(sinx)'cosx；（6）(cosx)'sinx； ,(lnx)'；

xlnax （7）(tanx)'sec2x；（8）(cotx)'csc2x；（9）(secx)'secxtanx； （10）(cscx)'cscxcotx；（11）(arcsinx)' （13）(arctanx)' （17）(thx)'11x2；（12）(arccosx)'11x2；

11；（14）；（15）(shx)'chx；（16）(chx)'shx； (arccotx)'221x1x1x2111(arshx)'；（18）；（19）(archx)'22chx1x；（20）(arcthx)'1 21x3、显函数的求导法则

若u(x),v(x)在x处可导，则 （1）[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)； （2）[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)； （3）[

u(x)u'(x)v(x)u(x)v'(x)]',(v(x)0)。 v(x)v2(x)10

4、隐函数的求导法则 F(x,y)0

两边对x求导y'g(x,y)；

5、参数式函数的求导法则

xx(t)dyy  g(t);yy(t)dxxd2ydg(t)1()

dtxdx2 6、反函数的求导法则

若直接函数x(y)可导，且'(y)0，则其反函数 必也可导，且f'(x)1 '(y) 注：

d(...)d(...)dx1d(...)，即将x视为中间函数再运用复合函数求导的链式法则处理 dydxdyy'dx 7、复合函数的求导法则 若u(x),

yf(u)，则复合函数yf[(x)]的导数为

dydydu——链式求导法则 dxdudx 链式求导法则可以推广到多个中间函数的情况。

（二）微分 1、定义

若yAx0(x)，其中0(x)为高阶无穷小量，则其线性主部定义为在 x0附近的函数的微分dyxxAxf'(x0)xf'(x0)dx

0 2、微分与导数的关系

dy dydxf'(x)dx

dx 3、微分法则

若u(x),v(x)在x处可微，则 （1）d[u(x)v(x)]du(x)dv(x)； （2）d[u(x)v(x)]v(x)du(x)u(x)dv(x)； （3）d[u(x)v(x)du(x)u(x)dv(x)],(v(x)0)。 v(x)v2(x) 11

4、复合函数的微分法则

设yf(u),ug(x)，则复合函数yf[g(x)]的微分具有形式不变性：

dydy udxddxdudydydudy 其中 f'(u)g'(x);f'(u)

dxdudxdu（三）高阶导数（n2） 1、定义

dy f(n)dnf(x)f(n1()xx)f(x)limx0dxnxn(1)(x)

2、常见函数n阶导数的公式 （1）f(x)sinx,cosx

(sinx)(n)sin(xnn);(cosx)(n)cos(x) 22 （2）f(x)ln(1x) [ln(1x(n)(n1)!)]n(11)n；

(1x) （3）f(x)x

[x](n)(1)(2)...[(n1)]xn(n) 特例：[xn](n)n!，[xn](n1)0

3、莱布尼茨公式

u(x),v(x均为可导函数，则 )(n)()(0)n1(uv)unvnCu(1)n2(2)knk'vCu''v...Cunn(k()v)...nunv(0)k)()

(n)()n((uv)unvnu1)n(n1)'v2!n(un!)'2'v...k!n(k)!uk(v(.)..

u(0)v 在上式中，u(0)u,v(0)v 即函数的零阶导数就是函数本身。

莱布尼茨公式在形式上与牛顿二项式定理的表式相似，只是将“幂次k”改成“k阶导

数”。

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