武汉市初中数学试卷分类汇编二元一次方程组易错压轴解答题(附答案)

一、二元一次方程组易错压轴解答题

1．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元. （1）求A、B两款商品的单价；

（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用0元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？

（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？

2．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该公司设计共有几种租车方案？

3．文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。

（1）小明购买了A，B两种书籍共20本，且购买的B书籍数量比A书籍数量的2倍少4本。

①小明购买了A，B两种书籍各多少本？ ②小明至少需要花费多少钱？

（2）如果小刚花了600元购买A，B两种书籍，其中A书籍购买了8本，那么有哪几种购买方案？其中哪一种方案最划算？

4．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人. （1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处? （2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中

树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?

5．菜矿泉水厂在山脚下筑有水池蓄水，山泉水不停地流入水池，水池底部有大小两个排水口， （1）当蓄水到 口

吨时，需要截住泉水清理水池。若开放小排水口 小时，再开放大排水

，若要使甲处植

分钟，能排完水池半的水:若同时开放两个排水口 小时，刚好把水排完.求两个排水

口每分钟的流量；

（2）现关闭排水口，开放泉水放满水池后，泉水仍以固定的流量流入水池.若用-台抽水机抽水， 小时刚好把水抽完；若用 台抽水机抽水， 每分针的抽水量是泉水流量的 倍； （3）在

的条件下，若用 台抽水机抽水，需要名长时间刚好把水池的水抽完？

6．某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：

分钟刚好把水抽完。证明:抽水机

（1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？

（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．

7．某市中学生举行足球联赛，共赛了17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是胜-场得3分。平场得1分，负一场得0分.

（1）在这次足球赛中,若小虎足球队踢平场数与踢负场数相同，共积16分，求该队胜了几场；

（2）在这次足球赛中,若小虎足球队总积分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种, 8．如图，已知

和

的度数满足方程组

，且

.

（1）分别求

和

的度数；

（2）请判断 与 的位置关系，并说明理由； （3）求

的度数。

9．如图，长青农产品加工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运到 B 地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数. 已知铁路运价为 2 元/（吨·千米），公路运价为 8 元/（吨·千米）.

（1）若由 A 到 B 的两次运输中，原料甲比产品乙多 9 吨，工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元.问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？ （2）由于国家出台惠农，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的 财政补贴，综合惠农后公路运输价格下降 m（ 0 < m < 4 且 m 为整数）元， 若由 A 到 B 的两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元，求 m 的 值.

10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）．

（1）顶点B的坐标为________，顶点D的坐标为________（用a或b表示）； （2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；

（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG， 这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度的两次平移；

（4）若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解． 11．已知

为三个非负数，且满足

得

（1）用含 的代数式分别表示 （2）若

求S的最小值和最大值.

12．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.

（1）小红首先用 根小木棍摆出了 个小正方形,请你用等式表示 ________；

（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?

（3）小红重新用50根小木棍,摆出了 排,共 个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示 可能的取值.

之间的关系,并写出所有

之间的关系：

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、二元一次方程组易错压轴解答题

1．（1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元.

根据题意，得： {20x+10y=36030x+5y=500 解得 {x=16y=4

所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.

解析： （1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元. 根据题意，得： 解得

所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.

（2）解：设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则

解得a=0.8

经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意 所以A、B两款商品进行了8折销售

（3）解：设顾客购买A商品m件，B商品n件.则

∵m、n都为正整数 ∴①m=1,n=13 ②m=3,n=8 ③m=5,n=3

所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.

【解析】【分析】（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元，根据题中“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；

（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，根据题中“用0元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件”可列出关于a的分式方程，求解即可； （3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，根据“同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元”可得关于m，n的二元一次方程，由m，n都为正整数讨论其所有可能性即可.

2．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨

根据题意，得： {2x+y=10x+2y=11 ， 解方程组得： {x=3y=4 ，

答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一

解析： （1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨 根据题意，得：

，

解方程组得：

，

答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨. （2）解：根据题意，得： ∴

，

∵a，b都是正整数 ∴

，

，

∴共有3种租车方案：

方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车9辆，B型车1辆； 方案三：A型车9辆，B型车1辆；

【解析】【分析】（1）此题关键的已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。

（2）此题等量关系为：租用A型车的数量×1辆A型车一次运货的数量+租用B型车的数量×1辆B型车一次运货的数量=31，列出关于a，b的二元一次方程，求出此二元一次方程的整数解，即可得到租车的方案。

3．（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 则由题意得： {x+y=20y=2x-4 得： {x=8y=12

答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本 ②花费最少的方案为：购买8套书籍

解析： （1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 则由题意得： 得：

答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本

②花费最少的方案为：购买8套书籍和4本B书籍，即：8×70+4×30=680(元) 答：至少需要花费680元

（2）解：设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 则50a+30b+70c=600① c=8-a②

将②代入①，整理得：a= b-2， ∵a，b均为正整数，且a≤8， ∴

，

，

∴有三种购买方案：

方案一：单买A书籍1本，单买B书籍2本，整套买7套， 共得A书籍8本，B书籍9本；

方案二：单买A书籍4本，单买B书籍4本，整套买4套， 共得A书籍8本，B书籍8本；

方案三：单买A书籍7本，单买B书籍6本，整套买1套， 共得A书籍8本，B书籍7本。 其中方案一最划算

【解析】【分析】（1） ①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 根据小明购买A类书籍的数量+购买B类书籍的数量=20本，及购买的B书籍数量=A书籍数量的2倍-4本 列出方程组，求解即可；②根据题干提供的信息可知，A,B两类书籍成套购买更划算，根据①的计算结果可得购买8套书籍和4本B书籍 即是花费最少的购书方案，进而根据有理数的混合运算即可解决问题；

（2） 设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 根据单独购买A类书籍的a本费用+单独购买B类书籍b本的费用+整套购买c套的费用=600及 A书籍购买了8本 列出方程组，求出该方程组的正整数解即可解决问题.

4．（1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人， 列方程得： 解得：x=17

（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+

解析： （1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人， 列方程得： 解得：x=17

（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程： ∴ ∴ ∵

当m=91时： 当m=92时： 当m=93时：

，y（舍去）

（舍去）

当m=94时： 当m=95时： 当m=96时： 当m=97时： 当m=98时： 当m=99时：

（舍去） （舍去）

（舍去）

（舍去） （舍去）

综上所述：当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各人，乙处7人

答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各人，乙处7人

【解析】【分析】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值；（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程： 的人数，进而求出调往甲处多少人.

.解此方程后即得调往乙处

5．（1）解：设两个排水口每分钟的抽水量为 x 吨， y 吨 依题意得 {60x+15y=9060x+60y=180 ，解得 {x=1y=2 答：两个排水口每分钟的抽水两为 1 吨， 2 吨。

解析： （1）解：设两个排水口每分钟的抽水量为 吨， 吨 依题意得

，解得

答：两个排水口每分钟的抽水两为 吨， 吨。

（2）解：设水池的水量为 ，泉水每分钟的流量为 ，抽水机每分钟的抽水量为

两式相减消去 ，得

即抽水机每分钟的抽水量是泉水流量的 倍。 （3）解：设 台抽水机用 分钟把水抽完，则有 由(2)得

即

【解析】【分析】（1）根据题意，设未知数x，y，列关于x，y的二元一次方程组，即可求解；

（2） 设水池的水量为 ， 泉水每分钟的流量为 ， 抽水机每分钟的抽水量为 ，列出方程，即可求解；

（3） 设 台抽水机用 分钟把水抽完，则有 即可求解.

，结合第（2）小题的结论，

6．（1）解：设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆． 根据题意，得 ， 解这个方程组，得 ．

答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆

（2）解：租45座客车：240÷4

解析： （1）解：设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆． 根据题意，得

，

解这个方程组，得

．

答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆

（2）解：租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元）， 租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）． 答：租用4辆60座客车更合算

【解析】【分析】 （1） 设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆, 本题的等量关系为：45×45座客车辆数+15=学生总数，60×（45座客车辆数-1）=学生总数，据此列方程组求出x,y即可求解；

（2）根据总人数÷每辆车的座位数=车辆数，分别计算单独租用两种车需要的车辆数，再分别计算两种租车方案下的租金，比较租金即可得出那辆车更合算。

7．（1）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意得 {x+2y=173x+y=16 解得 {x=3y=7 ；

（2）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 {x+y+

解析： （1）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意得 解得

；

（2）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 把③代入①②得 解得 ∴当 当 当

时， 时， 时，

; . (k为整数).

:

，

又∵z为正整数，

即：小虎足球队踢负场数的情况有三种 ①负7场；②负5场；③负1场

【解析】【分析】（1）根据题意可得两个相等关系： 胜场数+平场数+负场数=17； 胜场得分+平场得分+负场得分=16；根据这两个相等关系列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意，可以把整数倍用k倍来表示，列出三元一次方程组，并将负的场数用k表示出来，根据k为正整数，负的场数也为非负整数，分析即可得出结果.

8．（1）解：解方程组 ， ①-②得： ，解得： 把 代入②得： 解得： ；

（2）解： AB//CD ， 理由：∵ ， ， ，

(同旁内角互补，两直线平行

解析： （1）解：解方程组

，

①-②得： 把 解得： （2）解： 理由：∵

，解得：

代入②得：

； ， ， ，

，

(同旁内角互补，两直线平行)，

又

， ；

（3）解：

，

.

【解析】【分析】（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出 数；

（2）利用求得的

和

的度数可得到

，于是根据平行线的判定

和

的度

可判断AB∥EF，然后利用平行的传递性可得到AB∥CD； （3）先根据垂直的定义得到

，再根据平行线的性质计算

的度数.

9．（1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨， ，

解得，11.8＜x≤14 57 ∵x为整数， ∴x=12，13，14， ∴x+9为21，22，23， ∴购买原料甲有三种方案，分

解析： （1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，

，

解得，11.8＜x≤14 ∵x为整数， ∴x=12，13，14， ∴x+9为21，22，23，

∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨； （2）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，

，

解得，

，

答：m的值是3.

【解析】【分析】（1）根据 工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元 列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决；

（2）根据 由 A 到 B 的两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元得到相应的方程组，从而可以求得m的值.

10．（1）（0，b）；（a，2）

（2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ {3b=122a+6=12 ， 解得 {a=3b=4 ．

（3）3；2

（4）解：点P（m，n

解析： （1）（0，b）；（a，2）

（2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ 解得 （3）3；2

（4）解：点P（m，n）平移后的坐标为（m+3，n﹣2）， ∵点P的坐标是方程2x+3y＝12的解， ∴2m+3n＝12，

将P′的坐标代入方程2x+3y＝12， 2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12， ∴P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．

【解析】【解答】解：（1）由A的坐标为（0，2），C的坐标为（a，b），以及长方形ABCD的性质可知，

AB=b,AD=a,则B（0，b），D（a，2），

故答案为（0，b），（a，2）；（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，

这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的两次平移； 故答案为3，2；

【分析】（1）由题意，结合长方形的性质可得点B和点D的坐标；（2）因为点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，则将B、D两点坐标带入方程2x+3y＝12，得到方程组，求解即可得到答案.（3）①本题考查平移，利用平移的性质可以得到答案；（4）将点P的坐标和P′的坐标代入方程2x+3y＝12，若两者相等，即可证明.

．

，

11．（1）z-10|-2z+40

（2）解：∵x=z-10，y=-2z+40； ∴S=3（z-10）+2（-2z+40）+5z=4z+50， ∵x，y，z为三个非负实数， ∴z-10≥0，-2z

解析： （1）z-10|-2z+40 （2）解：∵x=z-10，y=-2z+40； ∴S=3（z-10）+2（-2z+40）+5z=4z+50， ∵x，y，z为三个非负实数， ∴z-10≥0，-2z+40≥0，z≥0， ∴10≤z≤20，

当z=20时，S有最大值，最大值=40+50=130， 当z=10时，S有最小值，最小值=40+50=90． 【解析】【解答】（1） ①×3-②得3x-2x+3z-4z=-10， 解得x=z-10，

①×2-②得2y-3y+2z-4z=-40， 解得y=-2z+40； 故答案为：z-10，-2z+40； 【分析】（1）把

看作为关于x和y的二元一次方程组，然后利用加

，

减消元法可得到x=z-10，y=-2z+40；（2）把x=z-10，y=-2z+40代入s=3x+2y+5z中得S=4z+50，再根据x，y，z为三个非负实数，即z-10≥0，-2z+40≥0，z≥0，解得10≤z≤20，然后根据一次函数的性质求解．

12．（1）3p+1=m

（2）解：设六边形有 x 个，正方形有y个， 则 {5x+1+3y+1=110x+4=y ， 解得 {x=12y=16 ，

所以正方形有16个，六边形有12个； （3）

解析： （1）3p+1=m

（2）解：设六边形有 个，正方形有y个， 则 解得

，

，

所以正方形有16个，六边形有12个； （3）解：据题意， 据题意， 因此

，且

，

均为整数，

可能的取值为： ，

，

或

.

【解析】【解答】解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)， 摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)， 摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)， ……，

摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍， 故答案为：

；

【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.