数学 教学课例 3.1 双曲线的定义及标准方程教学设计

一、 教材分析与处理

1、 教材的地位与作用

本节内容选自于北师大版《高中数学实验教科书》选修2-1高二第一学期第三章章第三节第一课时。教材首先介绍了利用拉链画双曲线的方法，便于学生从中概括出双曲线上点的几何性质。在双曲线标准方程的推导过程中，类比椭圆标准方程的推导，进一步提高学生的代数推导能力，教材利用双曲线标准方程研究其简单性质的过程，突出了数形结合的思想，并力求使学生结合椭圆的学习方式，类比，探究运用双曲线标准方程及图形来理解a,b,c,的代数意义和几何意义。

教材注重创设知识的产生背景，引用了大量的实例，使学生认识到双曲线是日常生活中常见的一种曲线，有着重要的应用价值，突出了知识的实质，强调了它的应用。 2、 学生状况分析：

学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式

的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。

根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以

下三个教学目标。 3、 教学目标

（1） 知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；

（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比

及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学

习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

4． 教学重点、难点

依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。

5、 教材处理：

我对教学内容作了一点调整：教材中是借用拉链画出的双曲线图形，而我是让学生课前用此方法画，在课堂上我用动画演示双曲线的形成过程。因为相比之下，动画更为形象直观。通过动画，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。

二、 教学方法与教学手段 1、 教学方法

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”

双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验， 所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点： （1） 以类比思维作为教学的主线 （2） 以自主探究作为学生的学习方法

2、 教学手段

采用多媒体辅助教学。体现在用动画演示双曲线形成过程。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。

三、 教学过程与设计

为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。

（一） 知识引入---- 图片展示、观察动画、概括定义

展示图片，观察其特点，概括出图片物体的外形特征。 反问：如何采用简易工具画出这样的曲线——双曲线

动画演示双曲线形成过程，让学生仔细观察图像中，定量关系和变量关系。 类比椭圆，给出双曲线的定义什么？

在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视 了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我采取启发引导，把 P从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到自己缺少一种情况，动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。

这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学 生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。

随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索

（二） 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比

1、定义的挖掘

在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。 反思：定义中为什么要求0<2a<2c?

然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题，但双曲线较为复杂，比如 ：增加了“绝对值”等等。学生要独立完成会较为困难，所以采取合作探究。这个过程既可以加深学生对定义的理解，又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高，从而培养学生的表达能力和协作能力。 2 标准方程的推导

这一环节是本节课的难点，为了突破它，我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解： （1） 回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法； （2） 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程； （3） 换元处理与椭圆有没有区别？

（4） 双曲线焦点在x轴和 y轴上的标准方程的异同。

然后让学生独立完成推导过程。

这样设置的目的是考虑到由定义求方程，就是求轨迹方程的问题，并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运算错误。另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。若直接平方，就会出现4次方，较为复杂。如果在实际教学中，有学生提出这种做法，我会让然后让大家参与分析讨论，看看哪种做法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。

整个这个推导过程，不仅提高了学生的变形能力、运算能力，而且也提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3、 方程的对比

此时，学生接触的方程已比较多，很容易混淆，有必要加以对比。

x2y21 判断下列双曲线的焦点位置：(1)169可以检测学生对两个方程的掌握程度。 归纳出判断双曲线焦点位置的一般方法。

x2y2(2)1916

（三） 知识应用----例题与巩固练习

1、例题：

已知双曲线焦点的坐标为 F1(5,0),F(5,0) ，双曲线上一点P到F1，F2 的距离的差的绝对值等于6，

求（1）双曲线的标准方程（2）双曲线上一点Ｐ， 若2 巩固练习

练习是学习活动中不可缺少的环节，可巩固对知识的理解，在这一环节我为学生准备了2道 练习题。

PF110,求

PF2。

 2 y（1）.已知动圆圆M与圆C：   2 内切，且过点A（2,0）  x22求动圆圆心M的轨迹方程

（2）已知双曲线的焦距为6,且经过点（4,-5），焦点在Y轴上，求其双曲线的标准方程。 通过练习会提醒学生考虑问题要认真、全面，同时又可加深学生对定义及标准方程的理解。

（四）知识小结----归纳知识与布置作业

1、知识总结：

（1）双曲线的定义 （2）标准方程 （两种形式） （3）焦点位置的判断（4）a 、b、 c的关系

在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力。 2 作业： 教材第80页

练习 第1题，第2题 预习下一节

教学内涵不局限于课堂，为了帮助学生课下能够继续探索和研究，以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，激发他们的能动性。

四、教学设计的想法说明：

我在教学过程设计方面注意了三点：

1. 教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤

醒学生主体认识的关键。

2. 教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上，而把握重点的关键是如何

选择好创新精神、实践能力与课堂教学的结合，这个结合点从学科来说，就是以科学知识为载体，培养学生的创新思维方法；从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计，及其在课堂中的艺术展现；从学生来说，就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程，从而在过程中获得逐步发展。

3. 教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层

次性、针对性。

我在教学理念方面注重了四点

第一是能动性：师生互动、生生互动，学生主动参与研究过程。

第二是开放性：教学过程中关注每个学生的个性发展，尊重每个学生发展的特殊需要，学生的思维开放。

第三是生成性：在教学过程中，学生的认识和体验不断加深，创造性的火花不断进发，学生的思维资源被开发出来，充分利用。

第四是注意了学生学习方式的转变，既注重了研究性学习，又注重了接受性学习，教师不把现成结论告诉学生，而是学生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题获得结论，从而解决问题。

3.1 《双曲线的定义及标准方程》课堂实录

（二） 知识引入---- 图片展示、观察动画、概括定义

展示图片，观察其特点，概括出图片物体的外形特征。

学生的学习积极性立马被调动起来，回答的很激烈也很内容也很丰富，不管是基础差的还是基础好的都在观察，思考，回答。接下来我又提出新的问题。 反问：如何采用简易工具画出这样的曲线——双曲线

动画演示双曲线形成过程，让学生仔细观察图像中，定量关系和变量关系。 类比椭圆，给出双曲线的定义什么？

学生开始回忆，回答椭圆的定义。此时我提示在椭圆的定义中有哪些关键词？学生思考回答，慢慢的由椭圆的定义，而得到双曲线的定义。

随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索

（二） 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比

1、定义的挖掘

在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。 反思：定义中为什么要求0<2a<2c?

然后让学生带着问题进行合作探究，我慢慢给予引导，让学生类比椭圆的探究方法或画图一点点探究，对于学生难以理解的地方适时给予个别指导。学生分组探究，合作交流，理解能力强的则帮助差的去解决问题，最终使问题得到完美解决。 2·标准方程的推导

这一环节是本节课的难点，为了突破它，我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解： （5） 回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法； （6） 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程； （7） 换元处理与椭圆有没有区别？

（8） 双曲线焦点在x轴和 y轴上的标准方程的异同。

然后让学生独立完成推导过程。遇到问题时则可小组内解决。

双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似，学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大，处理起来很可能出现一些运算错误。另外，变形时绝大多数学生会想到先移项再平方，少部分学生会直接平方。若直接平方，就会出现4次方，较为复杂此时我让大家参与分析讨论，看看哪种做

法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。 3、 方程的对比

x2y21判断下列双曲线的焦点位置：(1)169x2y2(2)1916

学生对刚才的方程推导过程理解的还是比较好的，大多数学生回答的都比较准确。 此时提问学生“你是怎么判断的，判断双曲线的焦点位置的一般方法是什么？”

此时学生类比椭圆焦点位置的判断方法得出双曲线焦点位置的一般判断方法“焦点位置看符号，位置随着正的跑”，反应积极，参与性高。

（四）知识应用----例题与巩固练习

1、例题：

已知双曲线焦点的坐标为 F1(5,0),F(5,0) ，双曲线上一点P到F1，F2 的距离的差的绝对值等于6，

12求（1）双曲线的标准方程（2）双曲线上一点Ｐ， 若,求。

学生思考回答，结合刚学的定义，方程很快的得出本题的正确答案，效果还算不错

PF10PF3 巩固练习

（1）.已知动圆圆M与圆C： x2y2内切，且过点A（2,0）

22求动圆圆心M的轨迹方程

（2）已知双曲线的焦距为6,且经过点（4,-5），焦点在Y轴上，求其双曲线的标准方程。

在第一题的解题过程中，学生遇到了麻烦，很多同学忘记了圆与圆的位置关系可以用哪些关系去刻画，从而使此题无从下手，不知所措。

此时我又简单的复习了圆与圆的位置关系，学生明白之后，接下的问题对这节课而言，他们很快得出了自己的答案。但是学生的答案仍然不完整，考虑不全面，想不到其实本题的轨迹只是双曲线的一支。 第二题学生则完成的相对较好。而且学生给出了不同的解题方法。第一种方法是利用焦点在Y轴的标准方程去解。第二种方法是采用定义式去解，即双曲线上一点到两定点的距离之差的绝对值等于常数的方法去解，两种方法各有各的好处，都非常好，学生理解的都很好。

（四）知识小结----归纳知识

1、知识总结：

（1）双曲线的定义 （2）标准方程 （两种形式） （3）焦点位置的判断（4）a 、b、 c的关系 2 课堂感悟

本节课你收获了什么？学到了哪些数学思想和方法，还想探究什么？

学生回忆本节重要知识点，思考，回答。

在谈到数学思想和方法时，则回答的也很丰富，全面，如从数学来源于生活，生活中处处有数学的存在，还有数形结合法，还有在考虑具体的问题过程中要面面俱到，还有一题多解的思想，遇到问题我们可以有很多种方法去解决，等等

（五）布置作业

教材第80页

练习 第1题，第2题 预习下一节

教学内涵不局限于课堂，为了帮助学生课下能够继续探索和研究，以帮助学生巩固对定义和标准方程的理解，激发他们的能动性。

《双曲线定义及其标准方程》教学反思

近期，我参加了亳州市“一师一优课”活动，课题是《双曲线定义及其标准方程》，上课的对象是高二年级理科班的学生，本节我在40分钟内完成了规定的教学任务，但是并没有达到我的预期课堂效果。上完这节课后我认真进行了反思，具体内容如下：

一·教学过程回顾

依据“以学生发展为本，新型的师生关系，新型的教学目标，新型的教学方式，新型的呈现方式”的心得教学理念和教学目标设计教学过程。 1·导入新课：简单回顾前两节所学圆锥曲线。 2·进入新课：

（1）让学生观察几组图片，归纳总结出这几张图片外形的共同特征。 （2）学生对比教材所给作图方法，自己动手，小组合作画出这样的曲线——双曲线。 （3）在画图过程中，观察图形总结其规律，类比椭圆给出其双曲线定义。

（4）探究定义中的限制条件0<2a<2c。思考交流得出2a=0;2a=2c;2a>2c的轨迹。 （5）类比椭圆的标准方程的求法，一步步推导出双曲线的标准方程，类比原理的应

用大大节省了学生的思考过程，使本节重难点不攻自破。 （6）讲解例题，巩固基础知识，提高自身素质。

（7）课堂练习检验学生新知掌握情况，学生交流思考，上台展示。

二·成功之处

教学方法上：结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学，互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

学习的主体上：课堂上不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容量瓶”，课堂上为学生的诸多参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错）。真正做到了：凡是学生能够自己学习的，观察的，讲的（口头表达），思考探究的，合作交流的，动手操作的，尽量都放手让给学生去做，去活动，去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识，老师的知识为成为自己的知识。

学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在启发鼓励下，让学生充分参与进来，练习巩固时，每个学生都经过独立思考，进行了交流讨论，共同进步。

“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中情感态度价值观形成的情形。呈现方式具有新异性，能激发学习兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的系统性，严密性。

多媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。对双曲线形成过程，采用图象呈现，对学生感观产生刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。

学法指导上：采用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探究状态之中，激情引趣。教师创设和谐，愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说，想，做，注重“引，思，探，练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

三·不足之处

1·本节课课堂容量偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应合理地安排每一节课的容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂效果，同时还要重视探究题的作用。

2·因为是普通理科班，运算能力稍差，熟练度不够，缺乏化简能力。所以先让他们自主探究完成，堵塞的地方小组讨论，解决不了的由我来点拨答疑。

3·作业设置不太好，没有设好选做题和必做题，让学生自主选择，充分发挥自身潜能，激发其学习兴趣。

四·预期目标

本节课结束时学生的求知欲望――持久的好奇心都被调动起来，学生还切切的说老师如果每节课都能这样教学多好呀，我想这是对我这节课的肯定，同时也是对我以后教学的鞭策。

总之，课堂教学中我应充分发挥自制教学课件的优势，并将自己的想法和“知识与技能，过程与方法，情感态度和价值观”三维目标充分融入多媒体教学中，“以知识为载体，以思维为主线，一能力为目标，以发展为方向”，展现知识的发生形成过程。采取以学生发展为本，明确学习目标，一学习任务驱动为方式，以双曲线定义及标准方程求法为中心。穿插研究性教学尝试，体现了“学生是学习的主体，教师是引导者，组织者，合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有

利于学生的实践能力和创新意识的培养。使学生爱上学习，乐于学习，变“要我学”为“我要学”。